Hipérbola

En este artículo, explicaremos en detalle qué es una hipérbola en matemáticas, sus elementos principales, las ecuaciones que la definen y cómo se representa gráficamente, entre otras cosas. 

¿Qué es la hipérbola?

Una hipérbola es una curva abierta que consta de dos ramas que se alejan indefinidamente. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos en un plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante en valor absoluto.

Desde la perspectiva de las secciones cónicas, una hipérbola se obtiene al intersectar un cono doble con un plano que corta ambas hojas del cono sin pasar por el vértice. La forma de la curva dependerá del ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono.

Elementos

Las partes principales de una hipérbola son las siguientes:

• Focos: son puntos fijos del plano. La recta sobre la que se ubican se llama eje principal y la distancia entre los dos focos se denomina distancia focal y se representa como 2c.
• Centro: es el punto medio entre los dos focos. La recta perpendicular al eje principal que pasa por el centro se llama eje imaginario.
• Vértices: son dos puntos de intersección de la hipérbola con su eje principal.
• Eje transversal: es el segmento que une los vértices de la hipérbola pasando por el centro. La longitud de este eje se simboliza 2a, donde a es la distancia del centro a un vértice. A la mitad de este eje se le llama semieje transversal y su longitud es a.
• Eje conjugado: es el segmento perpendicular al eje transversal que pasa por el centro, su longitud es 2b. A la mitad de este eje se le llama semieje conjugado y su longitud es b.
• Asíntotas: son líneas rectas a las que la hipérbola se aproxima a medida que se extiende hacia el infinito pero nunca las corta. Las ecuaciones de las asíntotas se derivan de la ecuación de la hipérbola.

Las hipérbolas tienen dos ramas que son simétricas con respecto a sus ejes y al centro. Cada rama se extiende indefinidamente y se aproxima a las asíntotas.

A diferencia de la elipse, en la hipérbola el parámetro b puede ser mayor que a, y esto afecta la "apertura" de la curva en la dirección perpendicular al eje transversal. La relación c² = a² + b² siempre se mantiene.

Ecuación canónica

Las ecuaciones canónicas de la hipérbola se presentan en formas diferentes dependiendo de la orientación del eje transversal y de las coordenadas del centro.

Hipérbola centrada en el origen

Con eje transversal horizontal: *\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Con eje transversal vertical: *\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1*

donde:

• a es la longitud del semieje transversal.
• b es la longitud del semieje conjugado.

Ejemplos

Hipérbola centrada en (h, k)

Con eje transversal horizontal: *\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Con eje transversal vertical: *\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*

donde:

• a es la longitud del semieje transversal.
• b es la longitud del semieje conjugado.

Ejemplos

Para determinar la orientación del eje transversal de una hipérbola, se debe observar el término positivo de la ecuación. Si el término positivo es el que contiene x, el eje transversal es horizontal. Si el término positivo es el que contiene y, el eje transversal es vertical.

La distancia desde el centro de la hipérbola hasta uno de los focos está relacionada con a y b por la fórmula c² = a² + b².

Deducción de la ecuación

Para deducir la ecuación de la hipérbola de manera simplificada, consideraremos un caso particular donde el eje transversal está alineado con el eje x y el centro de la hipérbola está en el origen (0,0). El proceso es similar al realizado con la elipse.

En este caso, tomamos un punto genérico P(x, y) en la hipérbola. Los vértices de la hipérbola se encuentran en las coordenadas V₁(-a, 0) y V₂(a, 0), mientras que los focos están ubicados en F₁(-c, 0) y F₂(c, 0). 

La definición de la hipérbola establece que la diferencia absoluta de las distancias de cualquier punto P(x, y) en la hipérbola a los dos focos F₁ y F₂ es igual a una constante:

*|d(P,F_2)-d(P,F_1)|=k*

Para determinar cuál es la constante, consideremos el punto V₁(-a, 0), que es uno de los vértices de la hipérbola.

La distancia desde V₁(-a, 0) hasta el foco F₁(-c, 0) es: *d(V_1,F_1)=|-a+c|=c-a*

La distancia desde V₁(-a, 0) hasta el foco F₂(c, 0) es: *d(V_1,F_2)=|-a-c|=a+c*

Aplicando la definición de la hipérbola, la diferencia absoluta de estas distancias es:

*|d(V_1,F_2)-d(V_1,F_1)|=|(a+c)-(c-a)|=|a+c-c+a|=|2a|=2a*

Por lo tanto, la constante de la que habla la definición es 2a (la longitud del eje transversal). Reemplazando en la definición general:

*|d(P,F_2)-d(P,F_1)|=2a*

Quitando las barras de valor absoluto, la diferencia de las distancias desde P hasta los focos es igual a ±2a.

*d(F_1,P)-d(F_2,P)=±2a*

Usamos la fórmula de la distancia:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=±2a*

Aislamos a los radicales:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}=±2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Elevamos ambos lados al cuadrado.

*(x+c)^2+y^2=4a^2± 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2*

Eliminamos paréntesis y simplificamos:

*x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2± 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2*

Simplificamos aislando un radical:

*4cx-4a^2=\pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Dividimos ambos lados entre cuatro:

*cx-a^2=\pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

*(cx-a^2)^2=a^2[(x-c)^2+y^2]*

Simplificamos:

*c^2x^2-2ca^2x+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)*

Eliminamos paréntesis y simplificamos:

*c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2*

Reordenamos los términos:

*(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4*

Factorizamos *a^2* en el lado derecho.

*(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)*

La condición que se debe cumplir en toda hipérbola es que la distancia focal siempre es mayor a la longitud entre los vértices: 

*2a<2c*

*a<c*

Puesto que *a<c,* también se tiene *a^2<c^2,* por lo que *c^2-a^2>0.* Hacemos *b^2=c^2-a^2, b>0.* Entonces, la ecuación se escribe:

*b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2*

Dividiendo ambos miembros entre *a^2b^2:*

*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Que es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0, 0), focos en (-c, 0) y (c, 0) y vértices en (-a, 0) y (a, 0). El eje transversal está sobre el eje x.

Para el caso de un eje transverso sobre el eje y, la deducción llevará a que el término negativo contiene a x. Cuando el centro sea (h, k), utilizamos las fórmulas de transformación de coordenadas reemplazando x por x-h e y por y-k.

Asíntotas

Recordemos que las asíntotas de una hipérbola son líneas rectas que pasan por en centro a las que la hipérbola se aproxima indefinidamente pero nunca toca. Ahora veremos cómo obtener las ecuaciones de las mismas.

Para trazar las asíntotas, se sigue un proceso geométrico que involucra la construcción de un rectángulo auxiliar:

1. Se comienza por trazar los vértices de la hipérbola, que están ubicados en (-a, 0) y (a, 0).
2. Se trazan los puntos (0, -b) y (0, b).
3. Utilizando estos cuatro puntos (-a, 0), (a, 0), (0, -b) y (0, b), se construye un rectángulo.
4. Las diagonales de este rectángulo tienen las pendientes de las asíntotas, las extendemos para graficarlas por completo.

Para una hipérbola con centro en (h, k), los lados del rectángulo serán los puntos (h-a, k), (h+a,  k), (h, k-b) y (h, k+b). En una hipérbola equilátera, es decir, donde a = b, el rectángulo auxiliar es un cuadrado.

Centro en el origen

Para una hipérbola centrada en el origen (0, 0), las ecuaciones de las asíntotas se determinan según la orientación del eje transversal:

• Eje transversal horizontal: *y=±\dfrac{b}{a}x*
• Eje transversal vertical: *y=±\dfrac{a}{b}x*

Ejemplo 1

Consideremos una hipérbola cuya ecuación es:

*\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1*

De la ecuación extraemos que el centro es (0, 0), *a=\sqrt{9}=3* y *b=\sqrt{16}=4.* El eje transverso es horizontal y está sobre el eje x.

Las asíntotas para esta hipérbola son:

*y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{3}x*

Individualmente:

*y=\dfrac{4}{3}x*

*y=-\dfrac{4}{3}x*

Ejemplo 2

Consideremos una hipérbola con la siguiente ecuación:

*\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{4}=1*

De la expresión extraemos que el centro es (0, 0), *a=\sqrt{25}=5,* y *b=\sqrt{4}=2.* El eje transversal es vertical y está sobre el eje y.

Las asíntotas para esta hipérbola son:

*y=\pm\dfrac{a}{b}x=\pm\dfrac{5}{2}x*

Individualmente:

*y=\dfrac{5}{2}x*

*y=-\dfrac{5}{2}x*

Centro fuera del origen

Para una hipérbola con centro en (h, k), las ecuaciones de las asíntotas se ajustan para reflejar el desplazamiento:

• Eje transversal horizontal: *y-k=±\dfrac{b}{a}(x-h)*
• Eje transversal vertical: *y-k=±\dfrac{a}{b}(x-h)*

Ejemplo 1

Consideremos la hipérbola *\dfrac{(x-2)^2}{16}-\dfrac{(y+3)^2}{9}=1*

De la ecuación extraemos que el centro es (2, -3), *a=\sqrt{16}=4,* y *b=\sqrt{9}=3.* El eje transversal es horizontal.

Las asíntotas para esta hipérbola son:

*y+3=\pm\dfrac{3}{4}(x-2)*

Esto se puede desglosar en dos ecuaciones:

*y+3=\dfrac{3}{4}(x-2)*

*y+3=-\dfrac{3}{4}(x-2)*

Ejemplo 2

Consideremos la hipérbola *\dfrac{(y-1)^2}{25}-\dfrac{(x+1)^2}{4}=1*

El eje transversal es vertical, el centro es (-1, 1), a=5, y b=2.

Las asíntotas para esta hipérbola son:

*y-1=\pm\dfrac{5}{2}(x+1)*

Que se puede separar en dos ecuaciones:

*y-1=\dfrac{5}{2}(x+1)*

*y-1=-\dfrac{5}{2}(x+1)*

Ecuación general

Para llegar a la ecuación general de una hipérbola partiremos de su forma canónica con centro en (h, k).

Empezamos con la forma canónica para eje horizontal:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por *a^2b^2* para eliminar los denominadores:

*b^2(x-h)^2-a^2(y-k)^2=a^2b^2*

Expandiendo y reagrupando los términos:

*b^2(x^2-2hx+h^2)-a^2(y^2-2ky+k^2)=a^2b^2*

*b^2x^2-2b^2hx+b^2h^2-a^2y^2+2a^2ky-a^2k^2=a^2b^2*

Reordenamos:

*b^2x^2-a^2y^2-2b^2hx+2a^2ky+(b^2h^2-a^2k^2-a^2b^2)=0*

Esta corresponde a la ecuación general de segundo grado:

*Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0*

donde:

• *A=b^2*
• *C=-a^2*
• *D=-2b^2h*
• *E=2a^2k*
• *F=b^2h^2-a^2k^2-a^2b^2*

Para la forma canónica con eje transverso vertical ocurrirá que:

• *A=-b^2*
• *C=a^2*
• *D=2b^2h*
• *E=-2a^2k*
• *F=a^2k^2-b^2h^2-a^2b^2*

Para que una ecuación general de segundo grado de la forma *Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0* represente una hipérbola, los coeficientes A y C deben cumplir la condición:

AC < 0

Esto significa que los términos cuadráticos deben ser diferentes de cero y tener diferentes signos.

Excentricidad

La excentricidad de una hipérbola es un parámetro que describe cómo de "abierta" es la curva. Se define como el cociente entre la longitud del centro a un foco (c) y la del centro al vértice (a). La fórmula es:

e = distancia del centro al foco / distancia del centro al vértice = *\dfrac{c}{a}*

Existe una fórmula alternativa considerando que c² = a² + b²:

*e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}*

donde:

• a es la longitud del semieje transversal.
• b es la longitud del semieje conjugado.

En una hipérbola, la excentricidad siempre es mayor que 1. Esto se debe a que los focos están situados más lejos del centro que los vértices, lo que implica que c > a. 

Ejemplo

Consideremos la hipérbola con ecuación *\dfrac{(x-2)^2}{9}-\dfrac{(y+3)^2}{16}=1*

Extraemos que *b^2=16* y *a^2=9→a=\sqrt{9}=3.* Con estos datos podemos calcular c:

*c^2=a^2+b^2=9+16=25*

*c=\sqrt{25}=5*

Ahora que tenemos c y a, podemos calcular la excentricidad:

*e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}*

Por lo tanto, la excentricidad de la hipérbola es *e=\dfrac{5}{3}≈1,67.* Como se esperaba, es mayor que 1.

Si usamos la fórmula alternativa de la excentricidad, llegamos al mismo resultado:

*e=\sqrt{1+\dfrac{16}{9}}=\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}*

Lado recto

El lado recto de una hipérbola es una cuerda perpendicular al eje transversal que pasa por uno de los focos de la hipérbola. Dado que una hipérbola tiene dos focos, tendrá dos lados rectos, uno asociado a cada foco.

La longitud del lado recto se puede calcular utilizando la fórmula:

*L=\dfrac{2b^2}{a}*

donde a es el semieje transversal y b es el semieje conjugado.

El lado recto proporciona información sobre la apertura de la hipérbola, pues a mayor longitud, más abierta es la curva. 

Ejemplo: consideremos una hipérbola con ecuación *\dfrac{(x-3)^2}{5^2}-\dfrac{(y+5)^2}{6^2}=1,* extraemos que a=5 y b=6. Entonces, la longitud del lado recto se calcula como:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot6^2}{5}=\dfrac{2\cdot36}{5}=\dfrac{72}{5}=14,4*

Por lo tanto, la hipérbola tiene dos lados rectos, cada uno con una longitud de 14,4 unidades.

Propiedades

Las hipérbolas tienen una serie de características importantes:

1. La distancia del centro a cada foco (c), del centro a cada vértice (a) y la longitud del eje semieje conjugado (b) están relacionados por la fórmula c² = a² + b².
2. La hipérbola es una curva simétrica respecto a dos rectas perpendiculares que pasan por su centro, las cuales contienen al eje transversal y al eje conjugado. El eje transversal pasa por los vértices y los focos de la hipérbola, mientras que el eje conjugado es perpendicular al eje transversal y pasa por el centro de la hipérbola.
3. Las hipérbolas tienen asíntotas, las cuales son rectas que la curva se aproxima, pero nunca toca. Las asíntotas se extienden desde el centro y marcan el límite dentro del cual la hipérbola se despliega.
4. La excentricidad de una hipérbola es una medida de cuán "abierta" o "estrecha" es la curva, su valor es siempre mayor que 1. Una mayor excentricidad indica que las ramas de la hipérbola se abren más ampliamente, mientras que una menor excentricidad (pero aún mayor que 1) indica ramas más cerradas.
5. Las hipérbolas poseen una propiedad reflectiva al igual que las elipses y parábolas: cualquier rayo que pasa por un foco se refleja hacia el otro foco. Esta propiedad es fundamental y tiene importantes aplicaciones en diversos campos, como la óptica y la acústica.

Hipérbolas y funciones racionales

Las hipérbolas surgen como las gráficas de funciones homográficas, las cuales tienen la forma general:

*f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}* donde *ad-bc≠0.*

Cuando graficamos estas funciones, obtenemos hipérbolas en las cuales el eje transversal está rotado 45°, y las asíntotas son paralelas a los ejes cartesianos.

Consideremos la función homográfica más simple: *y=\dfrac{k}{x},* conocida como función recíproca o función de proporcionalidad inversa. Esta tiene una gráfica que es una hipérbola con centro en el origen. Las asíntotas de esta hipérbola son las líneas x=0 e y=0,  que corresponden a los ejes coordenados.

Es importante señalar que no todas las hipérbolas vistas hasta ahora son funciones. Una función, por definición, asigna a cada valor de x un único valor de y. En cambio, las gráficas de  ecuaciones como *\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1* no cumplen con esta propiedad porque para un valor dado de x, puede haber dos posibles valores de y.

Aplicaciones

En sistemas de navegación como LORAN, las hipérbolas se utilizan en la determinación de la posición de un objeto en movimiento, como un barco en el mar. El sistema LORAN utiliza un conjunto de radiotransmisores que emiten señales sincronizadas. Un receptor a bordo del barco capta estas señales y mide la diferencia de tiempo entre la llegada de las señales de dos transmisores diferentes.

La clave del funcionamiento de LORAN radica en el hecho de que las diferencias de tiempo se traducen directamente en diferencias de distancia entre el barco y los dos transmisores. Debido a que la diferencia de tiempo entre la recepción de las señales es constante, el barco se encuentra en algún punto de una hipérbola cuyos focos son las posiciones de los dos transmisores. 

Por ejemplo, si un barco está navegando en un área donde dos estaciones LORAN están operando, el sistema puede calcular la posición exacta del barco en una curva hiperbólica basada en la diferencia de tiempo de llegada de las señales. 

En el campo de la acústica y la óptica, las propiedades reflectivas de las hipérbolas encuentran aplicaciones prácticas en el diseño de ciertos tipos de antenas parabólicas y espejos. Un reflector hiperbólico tiene la propiedad única de que cualquier onda de sonido o luz que pasa por uno de los focos se reflejará hacia el otro foco. Esto es útil en la construcción de antenas parabólicas para comunicaciones y en telescopios, donde es crucial enfocar las ondas electromagnéticas de manera eficiente.

Resumen de ecuaciones

Ecuación	Eje transversal	Centro	Focos	Vértices	Asíntotas
*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*	Sobre el eje x	(0, 0)	(±c, 0)	(±a, 0)	*y=±\dfrac{b}{a}x*
*\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1*	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, ±c)	(0, ±a)	*y=±\dfrac{a}{b}x*
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje x	(h, k)	(h±c, k)	(h ± a, k)	*y-k=±\dfrac{b}{a}(x-h)*
*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k±c)	(h, k ± a)	*y-k=±\dfrac{a}{b}(x-h)*

Recuerde que *c=\sqrt{a^2+b^2}*

Puntos clave

• Los puntos de la hipérbola cumplen la condición de que la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a los focos es constante y es igual a la distancia entre los vértices. 
• Los elementos principales de la hipérbola son los focos, el centro, los vértices, el eje transversal, el eje conjugado y las asíntotas.
• La condición que se debe cumplir en toda hipérbola es que la distancia focal siempre es mayor a la distancia entre los vértices.
• Para determinar la orientación del eje transversal, se debe observar el término positivo de la ecuación canónica. Si el término positivo es el que contiene x, el eje transversal es horizontal. Si el término positivo es el que contiene y, el eje transversal es vertical.
• La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor a uno.
• Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen a partir de las longitudes de los semiejes.
• No todas las hipérbolas son funciones, sin embargo, las funciones homográficas tienen como gráficas a hipérbolas cuyas asíntotas son paralelas a los ejes coordenados.

Recursos adicionales

En el siguiente video verás cómo utilizar GeoGebra para dibujar una hipérbola. Esta es una herramienta matemática dinámica que facilita la visualización y manipulación de figuras geométricas. 

En el siguiente video se explica cómo dibujar una hipérbola utilizando herramientas de dibujo técnico, como el compás y la regla. Este método tradicional es esencial para aquellos que están interesados en la precisión y la técnica manual en la representación de figuras geométricas. 

Lecturas recomendadas:

• Lehman, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.