Elipse

En este artículo explicamos todo sobre la elipse en matemáticas: sus elementos, ecuación canónica y general, ejemplos, propiedades y aplicaciones, entre otras cosas.

¿Qué es una elipse?

Una elipse es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 

La elipse también se puede interpretar como la sección cónica que resulta del corte de un cono circular recto con un plano que pasa por todas sus generatrices pero no es perpendicular al eje del cono. La orientación y la inclinación del plano determinan la forma de la elipse resultante.

Elementos

Las partes fundamentales de una elipse son:

• Focos: son dos puntos fijos del plano, denotados como F₁ y F₂. La característica fundamental de una elipse es que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a estos dos focos es constante. La recta que pasa por los focos se llama eje focal.
• Centro: es el punto medio del segmento que une los focos.
• Eje mayor: es el segmento de mayor longitud que pasa por los focos y se extiende hasta los extremos de la elipse. La longitud del eje mayor se denota como 2a, donde a es la distancia desde el centro hasta uno de los vértices. La mitad de este eje se llama semieje mayor. 
• Eje menor: es el segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro de la elipse y se extiende hasta los extremos de la elipse en dirección perpendicular al eje mayor. La longitud del eje menor se denota como 2b, donde b es la distancia desde el centro hasta uno de los extremos del eje menor. La mitad de este eje se llama semieje menor.
• Vértices: son los cuatro puntos de intersección de la elipse con sus ejes. Se representan con las letras V₁, V₂, V₃ y V₄. Los que están sobre el eje mayor se llaman vértices principales y los que están sobre el menor se llaman vértices secundarios o covértices.
• Distancia focal: es la distancia entre los focos, denotada como 2c, donde c es la distancia desde el centro hasta uno de los focos, conocida como semidistancia focal. Esta última se relaciona con los semiejes a través de la ecuación c² = a² - b².

Veremos otros elementos como el lado recto y la excentricidad más adelante en este artículo.

Ecuación canónica

La ecuación canónica de la elipse es aquella en la que aparece una suma igualada a uno de dos términos cuadráticos que contienen a las variables x e y, las coordenadas del centro y las longitudes de los semiejes elevadas al cuadrado.

Ecuación canónica	Características
*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1* *\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*	El centro es el origen de coordenadas (0, 0). a es el semieje mayor. b es el semieje menor.
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1* *\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*	El centro es el punto (h, k). a es el semieje mayor. b es el semieje menor.

Desarrollaremos cada par de ecuaciones con ejemplos a continuación. Se consideran principalmente dos tipos de elipses: aquellas con eje mayor horizontal (o elipses horizontales) y aquellas con eje mayor vertical (o elipses verticales).

Elipse con centro en el origen de coordenadas

Cuando la elipse tiene su centro en el origen (0, 0), la ecuación canónica u ordinaria de puede expresarse de dos formas, dependiendo de si el eje mayor es horizontal o vertical:

Eje mayor horizontal: *\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Eje mayor vertical: *\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*

donde:

• a es la longitud del semieje mayor.
• b es la longitud del semieje menor.
• a > b.

Para determinar la orientación del eje mayor, comparamos los denominadores de los términos en x² y y². El denominador mayor está asociado a la variable del eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse. Es decir, si x² tiene un denominador más grande, la elipse tiene eje mayor sobre el eje x, análogamente con y². 

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación de la elipse: *\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1*

Para identificar la orientación del eje mayor, comparamos los denominadores de los términos en x² e y². El denominador de x² es 16. El denominador de y² es 9. Dado que 16 es mayor que 9, el eje mayor es horizontal y está sobre el eje x.

Ahora, calculemos las longitudes de los semiejes:

• a² = 16, entonces a=√16=4. La longitud del semieje mayor es 4.
• b² = 9, entonces b=√9=3. La longitud del semieje menor es 3.

Ejemplo 2

Consideremos la siguiente ecuación de la elipse: *\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{25}=1*

Para identificar la orientación del eje mayor, comparamos los denominadores de los términos de las variables. El denominador de x² es 4. El denominador de y² es 25. Dado que 25 es mayor que 4, el eje mayor es vertical y está sobre el eje y.

Calculamos las longitudes de los semiejes:

• a² = 25, entonces a=√25=5. La longitud del semieje mayor es 5.
• b² = 4, entonces b=√4=2. La longitud del semieje menor es 2.

Elipse con centro fuera del origen de coordenadas

Cuando la elipse no está centrada en el origen, sino en un punto (h, k), las ecuaciones canónicas se modifican para reflejar esta traslación. Las ecuaciones reducidas son:

Para eje mayor horizontal: *\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Para eje mayor vertical: *\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*

donde:

• (h, k) es el centro de la elipse.
• a es la longitud del semieje mayor.
• b es la longitud del semieje menor.
• a > b.

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación de la elipse: *\dfrac{(x+3)^2}{36}+\dfrac{(y-4)^2}{16}=1*

Para identificar la orientación del eje mayor, comparamos los denominadores de los términos en *(x+3)^2* y *(y-4)^2.* El denominador de *(x+3)^2* es 36. El denominador de *(y-4)^2* es 16. Dado que 36 es mayor que 16, el eje mayor es horizontal, paralelo al eje x.

Para calcular las longitudes de los semiejes:

• a² = 36, entonces a=√36=6. La longitud del semieje mayor es 6.
• b² = 16, entonces b=√16=4. La longitud del semieje menor es 4.

Para deducir las coordenadas del centro de la elipse:

• Del término *(x+3)^2,* tenemos *x-h=x+3,* por lo que h = -3.
• Del término *(y-4)^2,* tenemos *y-k=y-4,* por lo que k = 4.

Por lo tanto, la elipse tiene su eje mayor horizontal con semieje mayor de longitud 6, semieje menor de longitud 4 y centro en (-3, 4).

Ejemplo 2

Consideremos la ecuación de la elipse: *\dfrac{(x-1)^2}{9}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1*

Para identificar la orientación del eje mayor, comparamos los denominadores de los términos en *(x-1)^2* y* (y+2)^2.* El denominador de *(x-1)^2* es 9. El denominador de *(y+2)^2* es 25. Dado que 25 es mayor que 9, el eje mayor es vertical, paralelo al eje y.

Ahora, calculemos las longitudes de los semiejes:

• a² = 25, entonces a=√25=5. La longitud del semieje mayor es 5.
• b² = 9, entonces b=√9=3. La longitud del semieje menor es 3.

Finalmente, deducimos las coordenadas del centro de la elipse:

• Del término *(x-1)^2,* tenemos *x-h=x-1,* por lo que h = 1.
• Del término *(y+2)^2,* tenemos *y-k=y+2,* por lo que k = -2.

Por lo tanto, la elipse tiene su eje mayor vertical con semieje mayor de longitud 5, semieje menor de longitud 3 y centro en (1, -2).

Otros ejemplos

Los siguientes son diez ejemplos más de ecuaciones canónicas de elipses:

1. *\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1* es una elipse horizontal centrada en (0, 0), con semieje mayor a = √4 = 2 y semieje menor b = √3 ≈ 1,73.
2. *\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1* es una elipse vertical con centro en (0, 0), a = √25 = 5 y b = √16 = 4.
3. *\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{16}=1* tiene eje mayor vertical, centro en (2, 3) y semiejes a = 4 y b = 3.
4. *\dfrac{(x-3)^2}{25/4}+\dfrac{(y+1)^2}{2}=1* tiene eje mayor horizontal, centro en C(3, -1), semiejes a = √(25/4) = 2,5 y b = √2 ≈ 1,41.
5. *\dfrac{(x+1)^2}{25}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1* es una elipse con eje mayor vertical, semiejes a = 6 y b = 5 con centro en (-1, 4).
6. *\dfrac{(x-2)^2}{12}+\dfrac{y^2}{16/3}=1* es una elipse orientada horizontalmente con centro en (2, 0) y semiejes a = √12 ≈ 3,46 y b = √(16/3) ≈ 2,31.
7. *\dfrac{(x-1)^2}{36}+\dfrac{(y-\frac{5}{2})^2}{49}=1* es una elipse vertical con centro en el punto (1, 5/2) y las longitudes de sus semiejes son a = 7 y b = 6.
8. *\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y+5)^2}{16}=1* tiene centro en (0, -5), eje mayor horizontal con a = 5 y b = 4.
9. *\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1* es una elipse horizontal centrada en (-1, 2), con a = √35 ≈ 5,92 y b = √10 ≈ 3,16.
10. *\dfrac{(x+2)^2}{10}+\dfrac{(y-3)^2}{18}=1* es la ecuación reducida de una elipse vertical centrada en (-2, 3), semieje mayor a = √18 ≈ 4,24 y semieje menor b = √10 ≈ 3,16.

Para ver las gráficas de las elipses puedes utilizar algún graficador de cónicas. También, muchas de las ecuaciones mostradas anteriormente están graficadas con sus elementos en el artículo de ejercicios resueltos de elipse.

Deducción de las ecuaciones

Para deducir la ecuación canónica de la elipse, consideraremos un caso especial con centro en el origen y eje mayor sobre el eje x.

Los focos tienen coordenadas F₁(-c, 0) y F₂(c, 0), los vértices principales están en (a, 0) y (-a, 0), los vértices secundarios en (0, b) y (0, -b), el centro es (0, 0). P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse. Aplicando la definición, de debe cumplir que:

*d(F_1, P)+d(F_2, P)=k*

Para calcular k, consideramos los vértices de la elipse, que son puntos de la misma, por lo que cumplen con la definición dada. Llamemos V₂ al vértice principal ubicado en (a, 0). Entonces tenemos que:

*d(V_2, F_1)=a+c*

*d(V_2, F_2)=a-c*

Donde a es la distancia desde el centro de la elipse hasta el vértice, y c es la distancia desde el centro hasta uno de los focos. Entonces, la suma de las distancias desde V₂ hasta los focos es:

*d(V_2,F_1)+d(V_2,F_2)=(a+c)+(a-c)=a+c+a-c=2a*

Por lo tanto, la constante k es igual a 2a. Esto significa que para cualquier punto P(x, y) en la elipse, la suma de las distancias a los focos es 2a, que no es otra cosa que la longitud del eje mayor. Reemplazando en la definición:

*d(F_1,P)+d(F_2,P)=2a*

Se utiliza la fórmula de la distancia que surge de aplicar el Teorema de Pitágoras:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a*

Se aísla un radical:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se elevan ambos lados al cuadrado:

*(\sqrt{(x+c)^2+y^2})^2=(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2*

Se elimina el paréntesis:

*(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2*

Se simplifica y se aísla el radical.

*x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2*

*4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se dividen ambos lados entre 4.

*cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se eleva de nuevo ambos lados al cuadrado.

*(cx-a^2)^2=a^2[(x-c)^2+y^2]*

Se elimina el paréntesis.

*c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)*

Se redondean los términos.

*c^2x^2-a^2x^2+a^2y^2=a^2c^2-a^4*

Se multiplica por -1 ambos lados y se factoriza el lado derecho.

*(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)*

Para obtener puntos de la elipse que no se encuentren sobre el eje x, se debe considerar que a > c, ya que la suma de la longitud de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado:

*d(F_1,P)+d(F_2,P)>d(F_1,F_2)*

*2a>2c*

*a>c*

Puesto que a>c, también se tiene *a^2>c^2,* entonces *a^2-c^2>0.* Sea *b^2=a^2-c^2, b>0.* Reemplazamos en la ecuación:

*b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2*

Dividiendo ambos lados entre *a^2b^2* se obtiene:

*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Que es la ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0), focos en (-c, 0) y (c, 0), eje mayor sobre el eje x y vértices en (-a, 0) y (a, 0). La longitud del semieje mayor es a y la del eje menor es b.

Con un proceso análogo se demuestra que si el eje mayor está sobre el eje y, la ecuación se transforma en:

*\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*

Para el caso en que el centro está desplazado del origen y tiene coordenadas (h, k), se utiliza la fórmula de transformación de coordenadas, reemplazando x por x-h e y por y-k en ambas ecuaciones. Así se obtienen:

Elipse con eje mayor horizontal: *\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Elipse con eje mayor vertical: *\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*

Ecuación general

La ecuación general de la elipse es Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 si sus ejes son paralelos a los ejes cartesianos. Si la elipse está rotada, se introduce un término mixto en la ecuación, resultando en Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Ahora bien, no todas las ecuaciones de las formas anteriores representan una elipse, sino que se debe cumplir una condición con los coeficientes.

Si en una expresión general Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 los coeficientes A y C son del mismo signo, es decir, ambos positivos o ambos negativos, entonces la ecuación representa a una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, un punto (caso conocido como elipse degenerada) o ningún lugar geométrico real (conocido como elipse imaginaria). Cuando en la ecuación general aparece el término Bxy, es necesario comprobar que B² - 4AC < 0, los casos posibles son los mismos que se dijeron antes.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones generales de elipses:

1. *3x^2+4y^2-12=0*
2. *25x^2+16y^2-400=0*
3. *4x^2+9y^2-16x-32=0*
4. *16x^2+9y^2-64x-54y+1=0*
5. *8x^2+25y^2-48x+50y+47=0*
6. *36x^2+25y^2+72x-200y-464=0*
7. *2x^2+4x+7y^2-28y-40=0*

Todas las ecuaciones anteriores están analizadas y graficadas en el artículo de ejercicios de elipse.

Cómo obtener la ecuación general

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación reducida de la elipse:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Primero, eliminamos los denominadores multiplicando ambos lados por *a^2b^2:*

*b^2(x-h)^2+a^2(y-k)^2=a^2b^2*

Desarrollamos los términos y ordenamos:

*b^2(x^2-2hx+h^2)+a^2(y^2-2ky+k^2)=a^2b^2*

Expandiendo y agrupando:

*b^2x^2-2b^2hx+b^2h^2+a^2y^2-2a^2ky+a^2k^2=a^2b^2*

Reorganizamos para formar la ecuación general de segundo grado:

*b^2x^2+a^2y^2-2b^2hx-2a^2ky+b^2h^2+a^2k^2-a^2b^2=0*

Finalmente, reescribimos esta ecuación en la forma estándar:

*Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0*

donde:

• *A=b^2*
• *C=a^2*
• *D=-2b^2h*
• *E=-2a^2k*
• *F=b^2h^2+a^2k^2-a^2b^2*

Si se tiene la ecuación general y se quiere pasar a la canónica, es necesario manipular algebraicamente la expresión y algunas veces se requerirá completar los cuadrados. El siguiente artículo contiene ejercicios resueltos sobre el pasaje entre ecuación general y canónica:

Cómo pasar de la ecuación canónica a la general y viceversa

Excentricidad

La excentricidad es un parámetro fundamental para entender la forma y las propiedades de una elipse. En términos gráficos, la excentricidad mide el grado de "redondez" o "aplastamiento" de la elipse. Matemáticamente se define como la razón entre la distancia del centro a un foco (c) y la distancia del centro a un vértice (a):

e = distancia del centro al foco / distancia del centro a un vértice = *\dfrac{c}{a}*

La excentricidad siempre está comprendida entre 0 y 1 (0 ≤ e < 1). Esto se debe a que, por definición, en una elipse, el valor c siempre es menor que a (c < a).

• Cuando la excentricidad es 0, la elipse se convierte en una circunferencia perfecta. En este caso, los dos focos son el mismo punto y coinciden en el centro, por lo que c=0 y hace que e=0.
• Cuando la excentricidad se acerca a 1, los focos se alejan cada vez más del centro y la elipse se alarga y se aplasta. 

Existe una fórmula alternativa para la excentricidad de una elipse que se expresa en términos de los semiejes mayor y menor. Considerando la relación entre estos y la longitud c, dada por *c^2=a^2-b^2,* obtenemos que *c=\sqrt{a^2-b^2}.* Sustituyendo en la fórmula: 

*e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}*

Trabajando la expresión:

*e=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}*

*e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}*

Ejemplos de excentricidad de elipses

Lado recto

El lado recto es un segmento que une dos puntos de la elipse, es perpendicular al eje mayor y pasa por uno de los focos. Dado que una elipse tiene dos focos, también tiene dos lados rectos iguales en longitud, uno asociado a cada foco.

La fórmula para calcular el lado recto es: *L_R=\dfrac{2b^2}{a}* donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Ejemplo: supongamos una elipse con un semieje mayor a = 5 unidades y un semieje menor b = 3 unidades. Para calcular el lado recto, sustituimos los valores en la fórmula: 

*L_R=\dfrac{2(3)^2}{5}=\dfrac{2\cdot 9}{5}=\dfrac{18}{5}=3,6*

Por lo tanto, el lado recto de esta elipse mide 3,6 unidades.

Más ejemplos del lado recto de una elipse

Propiedades

Una elipse presenta varias propiedades geométricas y algebraicas interesantes:

• Relación entre los parámetros: las longitudes de los semiejes mayor (a), menor (b), y la distancia del centro al foco (c) están relacionadas por la ecuación a² = b² + c².
• Propiedad reflectiva: cualquier rayo de luz o sonido que emane desde uno de los focos de la elipse será reflejado hacia el otro foco. Esto tiene aplicaciones prácticas en la acústica y la óptica, como en las cámaras de eco y ciertos tipos de antenas.
• Área: el área encerrada por una elipse puede calcularse utilizando la fórmula: A = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente.
• Simetría: la elipse es simétrica respecto al eje mayor y al eje menor. Esto significa que cualquier punto en la elipse tiene un punto reflejo a través de estos ejes.
• Caso especial: una circunferencia puede considerarse un caso especial de elipse donde ambos semiejes son iguales (a = b). En esta situación, los focos coinciden en el centro de la circunferencia y la excentricidad es cero.

Aplicaciones de la elipse

Las elipses tienen usos en astronomía, particularmente en la descripción de las órbitas de los cuerpos celestes. Según las leyes de Kepler, los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos de la elipse. Esta propiedad de las órbitas permite explicar las variaciones en la velocidad orbital de los planetas y su distancia al Sol durante su trayectoria.

En ingeniería, la elipse es utilizada en el diseño de estructuras como puentes debido a su gran resistencia y estabilidad. La forma elíptica permite una distribución uniforme de las tensiones, lo que la hace ideal para soportar grandes cargas.

En arquitectura, las elipses se emplean en el diseño de arcos y bóvedas. La geometría elíptica no solo proporciona estabilidad, sino que también permite una distribución eficiente de las cargas, mejorando la durabilidad y la seguridad de las estructuras. Además, las propiedades reflectivas de la elipse se aprovechan en la construcción de salas de conciertos y teatros. pues las ondas sonoras reflejadas en una sala elíptica se enfocan de manera uniforme, proporcionando una excelente acústica.

En el campo de la óptica, las elipses se utilizan en la fabricación de espejos y reflectores. Un espejo elíptico puede reflejar luz o sonido a un punto focal específico, y esto es ampliamente utilizado en, por ejemplo, telescopios. La función principal de usar las elipses es concentrar la energía hacia o desde un punto, de modo que se mejore la eficiencia y precisión al máximo.

Resumen de ecuaciones y fórmulas

A continuación se resumen las fórmulas más importantes para la elipse:

1) Ecuaciones de la elipse

Ecuación	Eje mayor	Centro	Focos	Vértices
*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*	Sobre el eje x	(0, 0)	(±c, 0)	(±a, 0) (0, ±b)
*\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, ±c)	(0, ±a) (±b, 0)
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje x	(h, k)	(h ± c, k)	(h ± a, k) (h, k ± b)
*\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k ± c)	(h, k ± a) (h ± b, k)

2) Relación entre los parámetros a, b y c: a² = b² + c²

3) Excentricidad de la elipse: e = c/a

4) Longitud del lado recto: L_R = 2b² / a

5) Área de la elipse: A = πab

Ver infografía

Puntos clave

• Una elipse es una figura geométrica plana formada por todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
• Los elementos fundamentales de una elipse incluyen el centro, los focos, los ejes principales (eje mayor y eje menor), y los vértices. Los focos son los puntos fijos dentro de la elipse, el centro es el punto medio de los focos y los ejes principales son las segmentos que atraviesan el centro y los vértices de la elipse.
• Al observar la ecuación de una elipse, la orientación del eje mayor (horizontal o vertical) se puede identificar comparando los denominadores de los términos. El denominador más grande corresponde al eje mayor. Si este denominador está asociado con el término de x, el eje mayor es horizontal. Si está asociado con el término de y, el eje mayor es vertical.
• Las longitudes de los semiejes se determinan a partir de los denominadores en la ecuación de la elipse. Para obtener la longitud del semieje mayor, se toma la raíz cuadrada del denominador más grande. Para el semieje menor, se realiza el mismo procedimiento con el denominador más pequeño.

Recursos adicionales

En el siguiente video se explica qué es una elipse y sus elementos:

Con el siguiente recurso podrás interactuar con una elipse modificando su excentricidad y visualizar en tiempo real cómo cambia su forma.

El siguiente es un video tutorial donde aprenderás a dibujar elipses de manera manual utilizando un clavo (o alfileres), una cuerda y un lápiz, conocido como el método del jardinero. Es una manera práctica y visual de comprender las propiedades geométricas de la elipse.

En el siguiente video se explica cómo dibujar una elipse utilizando un compás, un método muy utilizado en dibujo técnico.

Si prefieres una herramienta digital, te recomiendo usar GeoGebra o Desmos, ambas gratuitas y accesibles en línea, excelentes para experimentar con las elipses y otros conceptos geométricos de manera dinámica.

Lecturas recomendadas:

• Lehman, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.

Preguntas frecuentes

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