Elipse: qué es, ecuación, elementos y ejemplos

Q: ¿Una elipse y un óvalo son lo mismo?

No, una elipse y un óvalo no son lo mismo . La elipse es una figura geométrica definida matemáticamente, simétrica y con propiedades específicas, mientras que el óvalo es un término más general para describir cualquier figura curva cerrada similar a un huevo, sin una definición matemática estricta.

Q: ¿Una elipse y un elipsoide son lo mismo?

No, una elipse y un elipsoide no son lo mismo. Una elipse es una figura plana, mientras que un elipsoide es su versión tridimensional, parecido a una esfera achatada o alargada, que surge de rotar una elipse alrededor de uno de sus ejes.

Daniel Machado · Actualizado el 17/04/2025

Una elipse es una curva plana y cerrada que se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

La elipse también se puede interpretar como la sección cónica que resulta del corte de un cono circular recto con un plano que pasa por todas sus generatrices pero no es perpendicular al eje del cono. La orientación y la inclinación del plano determinan la forma de la elipse resultante.

Gráfica de una elipse y sus elementos focos y centro — Gráfica de una elipse

Elipse como intersección de un plano con un cono

A continuación, explicaremos más aspectos sobre la elipse en matemáticas: sus elementos, ecuaciones, ejemplos, características y usos, entre otras cosas.

Índice

Elementos

Las partes fundamentales de una elipse son:

Focos: son dos puntos fijos del plano, denotados como F₁ y F₂. La característica fundamental de una elipse es que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a estos dos focos es constante. La recta que pasa por los focos se llama eje focal.
Centro: es el punto medio del segmento que une los focos.
Eje mayor: es el segmento de mayor longitud que pasa por los focos y se extiende hasta los extremos de la elipse. La longitud del eje mayor se denota como 2a, donde a es la distancia desde el centro hasta uno de los vértices. La mitad de este eje se llama semieje mayor.
Eje menor: es el segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro de la elipse y se extiende hasta los extremos de la elipse en dirección perpendicular al eje mayor. La longitud del eje menor se denota como 2b, donde b es la distancia desde el centro hasta uno de los extremos del eje menor. La mitad de este eje se llama semieje menor.
Vértices: son los cuatro puntos de intersección de la elipse con sus ejes. Se representan con las letras V₁, V₂, V₃ y V₄. Los que están sobre el eje mayor se llaman vértices principales y los que están sobre el menor se llaman vértices secundarios o covértices.
Distancia focal: es la distancia entre los focos, denotada como 2c, donde c es la distancia desde el centro hasta uno de los focos, conocida como semidistancia focal. Esta última se relaciona con los semiejes a través de la ecuación c² = a² - b².
Excentricidad: es el cociente entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro a un vértice principal: e = c / a. Este número mide el grado de "redondez" o "aplastamiento" de la elipse.
Lado recto: es un segmento que une dos puntos de la elipse, es perpendicular al eje mayor y pasa por uno de los focos. Toda elipse tiene dos lados rectos cuyas longitudes son L_R = 2b² / a.

Elementos de una elipse: focos, centro, vértices principales y secundarios, eje mayor y eje menor — Partes importantes de la elipse

Distancias a, b y c en una elipse señaladas en un gráfico — Distancias a, b y c en una elipse

Ecuación canónica

La ecuación canónica u ordinaria de una elipse en coordenadas cartesianas cambia dependiendo del centro y de la orientación que tenga el eje mayor de la elipse.

1) Si el centro es el origen de coordenadas (0, 0), las ecuaciones son:

Elipse horizontal: *\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*
Elipse vertical: *\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*

2) Si el centro es un un punto (h, k) del plano cartesiano:

Elipse horizontal: *\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*
Elipse vertical: *\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*

En los cuatro casos, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor y a > b. Las demostraciones de estas fórmulas se harán más adelante en este artículo.

Ejemplos

Algunos ejemplos de elipses son:

*\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1* es una elipse horizontal con centro en el origen, semieje mayor *a=\sqrt{16}=4* y semieje menor *b=\sqrt{9}=3.*
*\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{25}=1* es una elipse vertical con centro en (0, 0), semiejes *a=\sqrt{25}= 5~~* y *~~b=\sqrt{4}=2.*
*\dfrac{(x+3)^2}{36}+\dfrac{(y-4)^2}{16}=1* es una elipse con eje mayor horizontal, centro en (-3, 4), semiejes mayor *a=\sqrt{36}=6* y menor *b=\sqrt{16}=4.*
*\dfrac{(x-1)^2}{9}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1* es una elipse con eje mayor vertical, centro en (1, -2), semieje mayor *a=\sqrt{25}=5* y semieje menor *b=\sqrt{9}=3.*

Gráfica de una elipse en plano cartesiano con eje mayor horizontal centrada en el origen con a=4 y b=3 — Gráfica de la elipse 1

Gráfica de una elipse en el plano cartesiano con eje mayor vertical centrada en el origen con a=5 y b=2 — Gráfica de la elipse 2

Gráfica de una elipse horizontal con centro fuera del origen en coordenadas (-3, 4), a=6 y b=4 — Gráfica de la elipse 3

Gráfica de una elipse vertical con centro fuera del origen en coordenadas (1, -2), a=5 y b=3 — Gráfica de la elipse 4

Los siguientes son diez ejemplos más de elipses en su fórmula canónica:

*\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1* es una elipse horizontal centrada en (0, 0), con semieje mayor *a=\sqrt{4}=2* y semieje menor *b=\sqrt{3} \approx 1,73*.
*\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1* es una elipse vertical con centro en (0, 0), *a=\sqrt{25}=5* y *b=\sqrt{16}=4*.
*\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{16}=1* tiene eje mayor vertical, centro en (2, 3) y semiejes *a=4* y *b=3*.
*\dfrac{(x-3)^2}{25/4}+\dfrac{(y+1)^2}{2}=1* tiene eje mayor horizontal, centro en C(3, -1), semiejes *a=\sqrt{25/4}=2,5* y *b=\sqrt{2} \approx 1,41*.
*\dfrac{(x+1)^2}{25}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1* es una elipse con eje mayor vertical, semiejes *a=6* y *b=5* con centro en (-1, 4).
*\dfrac{(x-2)^2}{12}+\dfrac{y^2}{16/3}=1* es una elipse orientada horizontalmente con centro en (2, 0) y semiejes *a=\sqrt{12} \approx 3,46* y *b=\sqrt{16/3} \approx 2,\!31*.
*\dfrac{(x-1)^2}{36}+\dfrac{(y-\frac{5}{2})^2}{49}=1* es una elipse vertical con centro en el punto (1, 5/2) y las longitudes de sus semiejes son *a=7* y *b=6*.
*\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y+5)^2}{16}=1* tiene centro en (0, -5), eje mayor horizontal con *a=5* y *b=4*.
*\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1* es una elipse horizontal centrada en (-1, 2), con *a=\sqrt{35} \approx 5,92~~* y *~~b=\sqrt{10} \approx 3,16*.
*\dfrac{(x+2)^2}{10}+\dfrac{(y-3)^2}{18}=1* es la ecuación reducida de una elipse vertical centrada en (-2, 3), semieje mayor *a=\sqrt{18} \approx 4,24* y semieje menor *b=\sqrt{10} \approx 3,16*.

Para ver las gráficas de las elipses puedes utilizar algún graficador de cónicas. También, muchas de las ecuaciones mostradas anteriormente están graficadas junto con sus elementos en el artículo de ejercicios resueltos de elipse.

Ecuación general

La ecuación general de la elipse es Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 donde A y C tienen el mismo signo y los ejes de la elipse son paralelos a los ejes cartesianos. Si la elipse está rotada, se introduce un término mixto en la ecuación, resultando en Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, donde se debe cumplir que B² - 4AC < 0.

Si se cumplen las condiciones dichas, la ecuación representa a una elipse real, un punto (caso conocido como elipse degenerada) o ningún lugar geométrico real (conocido como elipse imaginaria).

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones generales de elipses:

*3x^2+4y^2-12=0*
*25x^2+16y^2-400=0*
*4x^2+9y^2-16x-32=0*
*16x^2+9y^2-64x-54y+1=0*
*8x^2+25y^2-48x+50y+47=0*
*36x^2+25y^2+72x-200y-464=0*
*2x^2+4x+7y^2-28y-40=0*

Todas las ecuaciones anteriores están analizadas y graficadas en el artículo de ejercicios de elipse.

Características

Una elipse presenta varias propiedades geométricas y algebraicas interesantes:

Relación fundamental: las longitudes de los semiejes mayor (a), menor (b), y la semidistancia focal (c) están relacionadas por la ecuación a² = b² + c².
Propiedad reflectiva: cualquier rayo de luz o sonido que emane desde uno de los focos de la elipse será reflejado hacia el otro foco. Esto tiene aplicaciones prácticas en la acústica y la óptica, como en las cámaras de eco y ciertos tipos de antenas.
Área: el área encerrada por una elipse puede calcularse utilizando la fórmula: A = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente.
Simetría: la elipse es simétrica respecto al eje mayor y al eje menor. Esto significa que cualquier punto en la elipse tiene un punto reflejo a través de estos ejes.
Caso especial: una circunferencia puede considerarse un caso especial de elipse donde ambos semiejes son iguales (a = b). En esta situación, los focos coinciden en el centro de la circunferencia y la excentricidad es cero.

Aplicaciones

Las elipses tienen varias aplicaciones en la vida cotidiana y en la ciencia, algunas de ellas son:

Astronomía: las elipses son fundamentales en la descripción de las órbitas de los cuerpos celestes. Según las leyes de Kepler, los planetas se mueven en trayectorias elípticas alrededor del Sol, el cual ocupa uno de los focos de la elipse. Esta propiedad explica las variaciones en la velocidad orbital y la distancia entre los planetas y el Sol a lo largo de su recorrido.
Ingeniería: la elipse se emplea en el diseño de estructuras como puentes, gracias a su gran resistencia y estabilidad. Su forma permite una distribución uniforme de las tensiones, lo que la hace ideal para soportar cargas pesadas sin comprometer la integridad de la construcción.
Arquitectura: las elipses se utilizan en el diseño de arcos y bóvedas debido a su geometría estable, que permite una distribución eficiente de cargas, mejorando la durabilidad y seguridad de las estructuras. Además, sus propiedades reflectivas son clave en la construcción de salas de conciertos y teatros, donde la forma elíptica ayuda a dirigir las ondas sonoras hacia un punto focal, garantizando una acústica óptima en el espacio.
Óptica: las elipses son clave en la fabricación de espejos y reflectores. Un espejo elíptico puede dirigir la luz o el sonido hacia un punto focal específico, lo que se aplica en instrumentos como telescopios. Esta propiedad permite concentrar energía con alta precisión, mejorando la eficiencia en dispositivos ópticos y acústicos.

Resumen de ecuaciones y fórmulas

A continuación se resumen las fórmulas más importantes para la elipse:

1) Ecuaciones de la elipse

Ecuación	Eje mayor	Centro	Focos	Vértices
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1	Sobre el eje x	(0, 0)	(±c, 0)	(±a, 0) (0, ±b)
\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, ±c)	(0, ±a) (±b, 0)
\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1	Paralelo al eje x	(h, k)	(h ± c, k)	(h ± a, k) (h, k ± b)
\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k ± c)	(h, k ± a) (h ± b, k)

2) Relación fundamental: a² = b² + c²

3) Excentricidad de la elipse: e = c / a

4) Longitud del lado recto: L_R = 2b² / a

5) Área de la elipse: A = πab

Demostración de las ecuaciones

Aquí se presentan las demostraciones de las fórmulas de la elipse que vimos hasta ahora.

Demostración de la ecuación canónica

Para deducir la ecuación canónica de la elipse, consideraremos un caso especial con centro en el origen y eje mayor sobre el eje x.

Elipse horizontal centrada en el origen en un plano cartesiano

Los focos tienen coordenadas F₁(-c, 0) y F₂(c, 0), los vértices principales están en (a, 0) y (-a, 0), los vértices secundarios en (0, b) y (0, -b), el centro es (0, 0). P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse. Aplicando la definición, de debe cumplir que:

*d(F_1, P)+d(F_2, P)=k*

Para calcular k, consideramos los vértices de la elipse, que son puntos de la misma, por lo que cumplen con la definición dada. Llamemos V₂ al vértice principal ubicado en (a, 0). Entonces tenemos que:

*d(V_2, F_1)=a+c*

*d(V_2, F_2)=a-c*

Donde a es la distancia desde el centro de la elipse hasta el vértice, y c es la distancia desde el centro hasta uno de los focos. Entonces, la suma de las distancias desde V₂ hasta los focos es:

*d(V_2,F_1)+d(V_2,F_2)=(a+c)+(a-c)=a+c+a-c=2a*

Por lo tanto, la constante k es igual a 2a. Esto significa que para cualquier punto P(x, y) en la elipse, la suma de las distancias a los focos es 2a, que no es otra cosa que la longitud del eje mayor. Reemplazando en la definición:

*d(F_1,P)+d(F_2,P)=2a*

Se utiliza la fórmula de la distancia que surge de aplicar el Teorema de Pitágoras:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a*

Se aísla un radical:

*\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se elevan ambos lados al cuadrado:

*(\sqrt{(x+c)^2+y^2})^2=(2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2})^2*

Se elimina el paréntesis:

*(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2*

Se simplifica y se aísla el radical.

*x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2*

*4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se dividen ambos lados entre 4.

*cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}*

Se eleva de nuevo ambos lados al cuadrado.

*(cx-a^2)^2=a^2[(x-c)^2+y^2]*

Se elimina el paréntesis.

*c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)*

Se redondean los términos.

*c^2x^2-a^2x^2+a^2y^2=a^2c^2-a^4*

Se multiplica por -1 ambos lados y se factoriza el lado derecho.

*(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)*

Para obtener puntos de la elipse que no se encuentren sobre el eje x, se debe considerar que a > c, ya que la suma de la longitud de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado:

*d(F_1,P)+d(F_2,P)>d(F_1,F_2)*

*2a>2c*

*a>c*

Puesto que a>c, también se tiene *a^2>c^2,* entonces *a^2-c^2>0.* Sea *b^2=a^2-c^2, b>0.* Reemplazamos en la ecuación:

*b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2*

Dividiendo ambos lados entre *a^2b^2* se obtiene:

*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Que es la ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0), focos en (-c, 0) y (c, 0), eje mayor sobre el eje x y vértices en (-a, 0) y (a, 0). La longitud del semieje mayor es a y la del eje menor es b.

Con un proceso análogo se demuestra que si el eje mayor está sobre el eje y, la ecuación se transforma en:

*\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*

Para el caso en que el centro está desplazado del origen y tiene coordenadas (h, k), se utiliza la fórmula de transformación de coordenadas, reemplazando x por x-h e y por y-k en ambas ecuaciones. Así se obtienen:

Elipse con eje mayor horizontal: *\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Elipse con eje mayor vertical: *\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*

Demostración de la ecuación general

Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación reducida de la elipse:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Primero, eliminamos los denominadores multiplicando ambos lados por *a^2b^2:*

*b^2(x-h)^2+a^2(y-k)^2=a^2b^2*

Desarrollamos los términos y ordenamos:

*b^2(x^2-2hx+h^2)+a^2(y^2-2ky+k^2)=a^2b^2*

Expandiendo y agrupando:

*b^2x^2-2b^2hx+b^2h^2+a^2y^2-2a^2ky+a^2k^2=a^2b^2*

Reorganizamos para formar la ecuación general de segundo grado:

*b^2x^2+a^2y^2-2b^2hx-2a^2ky+b^2h^2+a^2k^2-a^2b^2=0*

Finalmente, reescribimos esta ecuación en la forma estándar:

*Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0*

donde:

*A=b^2*
*C=a^2*
*D=-2b^2h*
*E=-2a^2k*
*F=b^2h^2+a^2k^2-a^2b^2*

Si se tiene la ecuación general y se quiere pasar a la canónica, es necesario manipular algebraicamente la expresión y algunas veces se requerirá completar los cuadrados. El siguiente artículo contiene ejercicios resueltos sobre el pasaje entre ecuación general y canónica:

Recursos adicionales

En el siguiente video se explica qué es una elipse y sus elementos:

Con el siguiente recurso podrás interactuar con una elipse modificando su excentricidad y visualizar en tiempo real cómo cambia su forma.

El siguiente es un video tutorial donde aprenderás a dibujar elipses de manera manual utilizando un clavo (o alfileres), una cuerda y un lápiz, conocido como el método del jardinero. Es una manera práctica y visual de comprender las propiedades geométricas de la elipse.

En el siguiente video se explica cómo dibujar una elipse utilizando un compás, un método muy utilizado en dibujo técnico.

Si prefieres una herramienta digital, te recomiendo usar GeoGebra o Desmos, ambas gratuitas y accesibles en línea, excelentes para experimentar con las elipses y otros conceptos geométricos de manera dinámica.

Lecturas recomendadas:

Lehman, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación.
Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.

Preguntas frecuentes

¿Una elipse y un óvalo son lo mismo?

No, una elipse y un óvalo no son lo mismo. La elipse es una figura geométrica definida matemáticamente, simétrica y con propiedades específicas, mientras que el óvalo es un término más general para describir cualquier figura curva cerrada similar a un huevo, sin una definición matemática estricta.

¿Una elipse y un elipsoide son lo mismo?

No, una elipse y un elipsoide no son lo mismo. Una elipse es una figura plana, mientras que un elipsoide es su versión tridimensional, parecido a una esfera achatada o alargada, que surge de rotar una elipse alrededor de uno de sus ejes.

¿Cuál es la diferencia entre círculo, circunferencia y elipse?

Toda circunferencia es una elipse con excentricidad cero, pero no toda elipse es una circunferencia. Un círculo es la región del plano delimitada por una circunferencia, incluyendo todos los puntos en su interior.

¿Cómo saber si un punto pertenece a una elipse?

Para saber si un punto del plano pertenece a una elipse, se pueden reemplazar sus coordenadas en la ecuación canónica o general. Si se cumple la igualdad, el punto pertenece a la elipse, si no, no pertenece.