Ejes y semiejes de la hipérbola

Una hipérbola es horizontal o vertical dependiendo de la orientación del eje transversal. La siguiente propiedad relaciona a las longitudes de los semiejes transversal (a) y conjugado (b) con la semidistancia focal (c):

c² = a² + b²

El eje transverso y el conjugado pueden tener la misma longitud, en tal caso la hipérbola se llama equilátera. 

Cómo hallar los ejes de una hipérbola

Las longitudes de los semiejes aparecen en la ecuación canónica de la hipérbola elevados al cuadrado y como los denominadores de las variables.

Orientación	Ecuación canónica	Ejes y semiejes	Centro	Ejes de simetría
Hipérbola horizontal	*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	El semieje transversal es a. El semieje conjugado es b. El eje transversal mide 2a. El eje conjugado mide 2b.	(h, k)	Eje focal: y = k Eje imaginario: x = h
Hipérbola vertical	*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	El semieje transversal es a El semieje conjugado es b. El eje transversal mide 2a. El eje conjugado mide 2b.	(h, k)	Eje focal: x = h Eje imaginario: y = k

El término positivo en la ecuación canónica determina la orientación del eje transversal:

• Si el término positivo es el que contiene a la variable x, el eje transversal es paralelo al eje x, resultando en una hipérbola horizontal.
• Si el término positivo es el que contiene a la variable y, el eje transversal es paralelo al eje y, resultando en una hipérbola vertical. 

El denominador del término positivo permite extraer la longitud del semieje transversal (a), mientras que mediante el denominador del término negativo podemos obtener la longitud del semieje conjugado (b). Es necesario extraer la raíz cuadrada de los denominadores. 

Si la ecuación no está en forma canónica, podemos operar algebraicamente para conseguir que lo esté. Multiplicando por dos los valores de a y b se obtienen las longitudes del eje transverso y conjugado, respectivamente.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Obtener los ejes transverso y conjugado de la hipérbola *\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1*

Solución: la ecuación está en forma canónica así que podemos extraer los datos necesarios, como la hipérbola es horizontal (el término positivo está asociado a la variable x), el eje transverso (de longitud 2a) es horizontal. Las longitudes de los semiejes se pueden obtener sacando raíz cuadrada a los denominadores. 

El denominador del término positivo es 4, por tanto:

*a^2=4→a=\sqrt{4}=2*

El denominador del término negativo es 9, por tanto:

*b^2=9→b=\sqrt{9}=3*

Calculamos las longitudes de cada eje multiplicando los valores anteriores por 2:

• Eje transversal: *2a=2\cdot 2=4*
• Eje conjugado: *2b=2\cdot 3=6*

Ejercicio 2

Calcular los ejes transversal, conjugado y los ejes de simetría de la hipérbola *\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{16}=1*

Solución: la hipérbola está en forma estándar y observamos que tiene orientación vertical pues el término positivo tiene la variable y. Procedemos a sacar los valores de los semiejes:

Del término positivo: *a^2=25→a=\sqrt{25}=5*

Del término negativo: *b^2=16→b=\sqrt{16}=4*

Ahora calculamos los ejes completos multiplicando por dos:

• Eje transverso: *2a=2\cdot 5=10*
• Eje conjugado: *2b=2\cdot 4=8*

De la ecuación se identifica que el centro de la hipérbola es el origen de coordenadas, por tanto los ejes de simetría son los ejes cartesianos. Sus ecuaciones son:

• Eje focal: *x=0*
• Eje imaginario: *y=0*

Ejercicio 3

Dada la ecuación de la hipérbola *\dfrac{(x-2)^2}{19}-\dfrac{(y+3)^2}{9}=1,* determinar sus ejes principales y de simetría.

Solución: de la ecuación canónica reconocemos que la hipérbola es horizontal y está centrada fuera del origen. Sacamos las longitudes de los semiejes de los denominadores:

*a^2=19→a=\sqrt{19}*

*b^2=9→b=\sqrt{9}=3*

Ahora calculamos los ejes multiplicando por dos:

• Eje transversal: *2a=2\cdot \sqrt{19}≈8,72*
• Eje conjugado: *2b=2\cdot 3=6*

De la ecuación obtenemos el centro que es el punto (h, k) = (2, -3). Los ejes de simetría tienen la forma x = h, y = k, por tanto son:

• Eje imaginario: *x=2*
• Eje focal: *y=-3*

Ejercicio 4

Hallar los semiejes a y b de la hipérbola *y^2-2y-2x^2-9=0*

Solución: en este caso tenemos la ecuación general de la hipérbola y no podemos obtener directamente los datos necesarios. Sin embargo, si completamos los cuadrados encontramos una forma equivalente:

*\dfrac{(y-1)^2}{10}-\dfrac{x^2}{5}=1*

De aquí podemos identificar que la hipérbola es vertical y su centro está desplazado del origen. De los denominadores obtenemos los datos para resolver el problema:

*a^2=10→a=\sqrt{10}*

*b^2=5→b=\sqrt{5}*

Entonces:

• Semieje transversal: *a=\sqrt{10}≈3,16*
• Semieje conjugado: *b=\sqrt{5}≈2,24*

Bibliografía

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