Secciones cónicas

En este artículo explicamos qué son las secciones cónicas y los tipos que existen con su definición, ecuaciones, ejemplos y utilidad de cada una. 

¿Qué son las cónicas?

Las secciones cónicas son figuras geométricas que resultan de la intersección de un plano con un cono de dos hojas. Dependiendo del ángulo entre el plano y el eje del cono se pueden obtener diferentes tipos de cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. 

La palabra cónica proviene de cono, una figura geométrica tridimensional que se forma de la siguiente manera: consideramos que e y g son dos rectas distintas que se intersecan en un punto V. La recta e permanece fija mientras que la recta g gira alrededor de e, manteniendo el mismo ángulo entre ambas. La colección de puntos que genera la recta g se llama cono circular recto. 

La recta fija se denomina eje, y las rectas que pasan por V y forman el mismo ángulo que g con e se llaman generatrices del cono. Cada generatriz es una recta que se encuentra completamente sobre el cono. El cono se divide en dos partes, llamadas hojas, que se intersecan en el vértice.

Las secciones cónicas son curvas que se obtienen al intersectar un cono circular recto con un plano. Imaginemos el plano como un cuchillo que atraviesa el cono en diferentes ángulos y posiciones. Dependiendo de la orientación del plano respecto al cono, se obtienen diferentes tipos de secciones cónicas:

• Circunferencia: cuando el plano es perpendicular al eje del cono y corta todas las generatrices.
• Elipse: cuando el plano está ligeramente inclinado, corta todas las generatrices pero solo una hoja del cono.
• Parábola: cuando el plano es paralelo a una generatriz y corta solo una hoja del cono.
• Hipérbola: cuando el plano corta ambas hojas.

Si el plano incluye el vértice, la intersección del plano y el cono es un punto, una recta o un par de rectas que se cruzan. Estos casos se denominan cónicas degeneradas.

Cada una de las secciones tiene elementos y propiedades específicas que pueden estudiarse desde su gráfica y ecuación. Se puede considerar a la circunferencia como un caso especial de elipse, pero aquí la trataremos aparte.

Las cónicas pueden definirse como lugares geométricos en el plano, los cuales son conjuntos de puntos que cumplen propiedades específicas. A partir de esta definición y trabajando algebraicamente se llega a las ecuaciones que representan a las curvas.

El concepto de cónicas aparece desde los estudios de los antiguos griegos, pero fue a partir del siglo XVII que se formalizó y se estudiaron sus propiedades algebraicas. La geometría euclidiana proporciona una comprensión intuitiva y visual de las cónicas, mientras que la geometría analítica permite estudiar las cónicas a través de sus ecuaciones, lo que proporciona herramientas para el análisis y la resolución de problemas geométricos mediante el álgebra. 

Las figuras cónicas tienen muchas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería. Por ejemplo, las elipses se utilizan para describir las órbitas de los planetas, las parábolas se utilizan para diseñar reflectores de luz y las hipérbolas se utilizan para estudiar la trayectoria de las partículas en un campo eléctrico o magnético.

Circunferencia

Una circunferencia se obtiene cuando un plano corta a un cono de manera perpendicular al eje del cono. Se define como el conjunto de puntos que están a una distancia fija, llamada radio, de un punto fijo, llamado centro.

Los elementos fundamentales de la circunferencia son:

• Centro: es un punto fijo ubicado en el interior de la circunferencia al cual equidistan todos los puntos de esta.
• Radio: es la distancia entre el centro y todos los puntos de la circunferencia.

El radio puede ser cualquier número positivo. En un plano cartesiano, el centro de la circunferencia puede ser cualquier punto. Existe otro elemento, llamado diámetro, cuya longitud es el doble del radio y se trata de un segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. 

La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas es: 

x² + y² = r²

donde x e y son las coordenadas de un punto genérico P(x, y) de la circunferencia y r es el radio. 

Si en lugar de el origen de coordenadas queremos de centro a un punto cualquiera (h, k), la ecuación se transforma en:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Ejemplos

• La ecuación x² + y² = 4 representa una circunferencia con centro en (0, 0) y radio 2.
• La expresión (x+3)² + (y+2)² = 9 es la ecuación de una circunferencia con centro en (3, 2) y radio 3.
• La ecuación (x+5)² + (y-4)² = 49 representa una circunferencia con centro en (-5, 4) y radio 7.

Algunas propiedades de la circunferencia son:

• Cualquier recta que pase por el centro divide la circunferencia en dos mitades iguales.
• La longitud de la circunferencia (perímetro) se relaciona con su radio mediante la fórmula: P= 2πr, donde π es aproximadamente 3,141592.
• El área encerrada por la circunferencia se calcula con la fórmula: A = πr².

Frecuentemente se confunde a la circunferencia con el círculo, pero son conceptos diferentes. El círculo es la figura geométrica completa que incluye la circunferencia y el área interior, mientras que la circunferencia es solo el borde o contorno del círculo.

Más información y ejemplos de las circunferencias

Elipse

Una elipse se obtiene cuando un plano ligeramente inclinado corta a un cono en una sola hoja del mismo, pero el plano no llega a ser paralelo a ninguna generatriz. La elipse también se define como el conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Los elementos fundamentales de la elipse son:

• Focos: son dos puntos fijos situados en el interior de la elipse. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es constante.
• Eje mayor: es el segmento más largo que pasa por los focos y tiene sus extremos en la elipse. La longitud del eje mayor es la distancia máxima entre dos puntos de la elipse.
• Eje menor: es el segmento más corto que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor. La longitud del eje menor es la distancia mínima entre dos puntos de la elipse.
• Semiejes: son las mitades del eje mayor y el eje menor.
• Centro: es el punto donde se cortan el eje mayor y el menor. 

La ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas es:

*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Si en lugar del origen de coordenadas, el centro está en un punto cualquiera (h, k), la ecuación se transforma en:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

Cuando el eje mayor es vertical, a y b intercambian lugares, quedando a en el denominador de la variable y:

*\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*

Ejemplos

• La ecuación *\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1* representa una elipse con centro en el origen donde el semieje mayor mide 4 y el semieje menor mide 3. El eje mayor es horizontal.
• La ecuación *\dfrac{(x-2)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{16}=1* representa una elipse con centro en (2, -1) donde el semieje mayor mide 5 y el semieje menor mide 4. El eje mayor es horizontal.
• La ecuación *\dfrac{(x-1)^2}{9}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1* representa una elipse con centro en (1,-2) donde el semieje mayor mide 5 y el menor mide 3. El eje mayor es vertical.

Se puede considerar a una circunferencia como un caso particular de elipse cuando los focos son el mismo punto. 

Las elipses tienen numerosas aplicaciones prácticas en diversos campos debido a sus propiedades geométricas únicas. En astronomía, describen las órbitas de planetas y cometas, siguiendo las leyes de Kepler, con el Sol en uno de los focos. 

En ingeniería y tecnología, se utilizan en el diseño de antenas y sistemas de iluminación, donde la propiedad de reflexión focal mejora la eficiencia de transmisión y recepción. Además, en acústica, las elipses ayudan a diseñar salas de conciertos y teatros, optimizando la distribución del sonido al concentrarlo en puntos específicos.

Más información y ejemplos de las elipses

Parábola

Una parábola se obtiene cuando un cono es cortado por un plano paralelo a una generatriz. Se define como el conjunto de puntos que están a una distancia igual de un punto fijo, llamado foco, y de una línea recta fija, llamada directriz.

Los elementos fundamentales de la parábola son:

• Foco: es el punto fijo del plano.
• Directriz: es una línea fija que no pasa por el foco. La distancia desde cualquier punto de la parábola a la directriz es igual a la distancia de ese punto al foco.
• Vértice: es el punto de la parábola que está a mitad de camino entre el foco y la directriz.

La parábola puede abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda, dependiendo de la orientación de la directriz y el foco.

La ecuación estándar de la parábola con vértice en el origen y que se abre hacia la izquierda o la derecha es:

*y^2=±4px*

donde p es la distancia del vértice al foco. Cuando la curva abre hacia la derecha se toma signo positivo y cuando es hacia la izquierda el signo negativo.

Si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, la ecuación es: 

*x^2=±4py*

Cuando la curva abre hacia arriba se toma signo positivo y cuando es hacia la abajo el signo negativo.

Para una parábola con vértice en un punto cualquiera (h, k), la ecuación se transforma en:

*(y-k)^2=±4p(x-h)* para parábolas que abren hacia izquierda o derecha.

*(x-h)^2=±4p(y-k)* para parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplos

• La ecuación *y^2=-16x* representa una parábola con vértice en (0, 0) donde la distancia del foco al vértice es 4. La curva abre hacia la izquierda.
• La ecuación *x^2=5(y+3)* representa una parábola con vértice en (0, -3) donde la distancia del foco al vértice es 5/4. La curva se abre hacia arriba.
• La ecuación *(y-1)^2=2(x+2)* representa una parábola con vértice en (-2, 1) donde la distancia del foco al vértice es 1/2. La curva se abre hacia la derecha.

Las parábolas tienen amplias aplicaciones en la comunicación y la tecnología debido a sus propiedades reflectoras. En antenas parabólicas y reflectores de radio, se utilizan para maximizar la eficiencia de la transmisión y recepción de señales, concentrándolas en el foco. 

En óptica e iluminación, los reflectores parabólicos se emplean en faros de automóviles y telescopios, dirigiendo la luz de manera precisa para obtener imágenes claras y mejor iluminación.

Más información y ejemplos de las parábolas

Hipérbola

Una hipérbola se obtiene cuando un plano corta las dos hojas de un cono. También se define como el conjunto de puntos para los cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante en valor absoluto.

Los elementos fundamentales de la hipérbola son:

• Focos: son los dos puntos fijos en el plano. La diferencia de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola a estos dos focos es constante.
• Eje focal: es la recta que pasa por los focos.
• Centro: es el punto medio del segmento que une a los focos.
• Vértices: son dos puntos de la hipérbola que se encuentran sobre el eje focal y a la misma distancia del centro.
• Eje transversal: es el segmento que une los vértices.
• Eje conjugado: es el segmento perpendicular al eje focal y pasa por el centro de la hipérbola.

La hipérbola tiene dos ramas que se abren en direcciones opuestas. La orientación de la apertura depende de la disposición de los focos y los ejes.

La ecuación estándar de la hipérbola con centro en el origen y que se abre hacia la izquierda y la derecha es:

*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*

donde 2a es la longitud del eje transversal y 2b es la longitud del eje conjugado.

Si la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo, la ecuación es:

*\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1*

Para una hipérbola con centro desplazado en un punto cualquiera (h, k) las ecuaciones se transforman en:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1* para hipérbolas que se abren hacia los lados.

*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1* para hipérbolas que se abren hacia arriba y abajo.

Ejemplos

• La ecuación *\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1* representa una hipérbola con centro en el origen donde el semieje transversal mide 2 y el conjugado mide 3. El eje transversal es horizontal.
• La ecuación *\dfrac{(y+2)^2}{4}-\dfrac{(x+1)^2}{25}=1* representa una hipérbola con centro en (-1, -2) donde el semieje tranversal mide 2 y el conjugado 5. El eje transversal es vertical.
• La ecuación *\dfrac{(x+3)^2}{25}-\dfrac{(y-2)^2}{36}=1* representa una hipérbola con centro en (-3, 2) donde el semieje transversal mide 5 y el conjugado mide 6. El eje transversal es horizontal.

Las hipérbolas tienen aplicaciones en diversas áreas, por ejemplo, en navegación y geolocalización se utilizan para determinar posiciones exactas mediante la medición de diferencias de tiempo de llegada de señales de radio desde distintas estaciones. Estas técnicas de triangulación hiperbólica también son fundamentales en la tecnología GPS, donde se usan para calcular la posición de un receptor en la superficie terrestre basándose en las señales de múltiples satélites.

Más información y ejemplos de las hipérbolas

Resumen de ecuaciones

Cónica	Ecuación	Detalles
Circunferencia	*(x-h)^2+(y-k)^2=r^2*	El centro es (h, k). El radio es r.
Elipse horizontal	*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	El centro es (h, k). a es la longitud del semieje mayor. b es la longitud del semieje menor.
Elipse vertical	*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}+\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	El centro es (h, k). a es la longitud del semieje mayor. b es la longitud del semieje menor.
Parábola (hacia derecha o izquierda)	*(y-k)^2=±4p(x-h)*	(h, k) es el vértice. p es la distancia entre el foco y el vértice.
Parábola (hacia arriba o abajo)	*(x-h)^2=±4p(y-k)*	(h, k) es el vértice. p es la distancia entre el foco y el vértice.
Hipérbola (con ramas hacia los lados)	*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	El centro es (h, k). a es la longitud del semieje transversal. b es la longitud del semieje conjugado.
Hipérbola (con ramas hacia arriba y abajo)	*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	El centro es (h, k). a es la longitud del semieje transversal. b es la longitud del semieje conjugado.

Puntos clave

• Las secciones cónicas son curvas obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Estas curvas incluyen la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
• Las cónicas pueden definirse como lugares geométricos en el plano, sin recurrir a la interpretación en tres dimensiones.
• La circunferencia es una curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia (radio) de un punto fijo (centro).
• La elipse es una curva cerrada cuyos puntos cumplen la condición de que la suma de distancia a dos puntos fijos (focos) es una constante.
• La parábola es una curva abierta cuyos puntos están equidistantes de un punto (foco) y una línea (directriz).
• La hipérbola es una curva abierta de dos ramas cuyos puntos cumplen la condición de que la diferencia de distancias a dos puntos llamados focos es una constante.

Recursos adicionales

En el siguiente video se explica cómo se forman las secciones cónicas:

El estudio de las figuras cónicas requiere de muchos gráficos, por lo que es fundamental contar con herramientas que faciliten la visualización y el análisis. Para esto, recomiendo utilizar GeoGebra o Desmos, dos plataformas accesibles en línea y gratuitas.

GeoGebra permite dibujar cónicas y otras figuras geométricas de manera interactiva, ya sea manipulando elementos o con ecuaciones. Por ejemplo, puedes dibujar una elipse indicando dos puntos como focos y un punto de la curva. Desmos, por otro lado, se especializa en la graficación de curvas a partir de sus ecuaciones, por lo que será necesario contar con ellas.

En el siguiente video podrás ver cómo graficar cónicas usando GeoGebra:

En la siguiente animación podrás ver cómo se genera un cono a partir del giro de una recta alrededor de otra fija:

Lecturas recomendadas:

• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.

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