Elipses horizontales y verticales

En este artículo explicamos las elipses horizontales y verticales y cómo identificar cada caso a partir de la ecuación canónica o la general.

Elipse horizontal

En una elipse horizontal, el denominador del término que contiene la variable x es más grande que el del término que contiene la variable y. Si el centro es el origen, el eje mayor está sobre el eje x; si el centro es otro punto, el eje mayor es horizontal, paralelo al eje x.

Los elementos de una elipse horizontal pueden extraerse a partir de la ecuación canónica, como se muestra en la siguiente tabla:

Ecuación	Eje mayor	Centro	Focos	Vértices
*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*	Sobre el eje x	(0, 0)	(±c, 0)  donde c = √(a2 - b2)	(±a, 0) (0, ±b)
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje x	(h, k)	(h ± c, k) donde c = √(a2 - b2)	(h ± a, k) (h, k ± b)

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de fórmulas de elipses con eje mayor horizontal:

1. *\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1*
2. *\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{16}=1*
3. *\dfrac{(x-5)^2}{25}+\dfrac{(y+2)^2}{9}=1*
4. *\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1*

Elipse vertical

En una elipse vertical, el denominador del término que contiene la variable y es más grande que el del término que contiene la variable x. Si el centro es el origen, el eje mayor está sobre el eje y; si el centro es otro punto, el eje mayor es vertical, paralelo al eje y.

Los elementos de una elipse vertical se pueden extraer de la ecuación ordinaria, como se muestra en la siguiente tabla:

Ecuación	Eje mayor	Centro	Focos	Vértices
*\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1*	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, ±c) donde c = √(a2 - b2)	(0, ±a) (±b, 0)
*\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1*	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k ± c) donde c = √(a2 - b2)	(h, k ± a) (h ± b, k)

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de fórmulas de elipses con eje mayor vertical:

1. *\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{25}=1*
2. *\dfrac{y^2}{30}+\dfrac{x^2}{10}=1*
3. *\dfrac{(x-1)^2}{9}+\dfrac{(y+2)^2}{25}=1*
4. *\dfrac{(x+1)^2}{25}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1*

Cómo saber si una elipse es horizontal o vertical

Saber la orientación de una elipse es relativamente sencillo si se tiene la ecuación canónica, en ella se deben identificar los denominadores de las variables:

• Si el denominador del término que contiene a la variable x es mayor que el término que contiene la variable y, entonces se trata de una elipse horizontal, su eje mayor y su eje focal son paralelos al eje x.
• Si el denominador del término que tiene y es mayor que el término que tiene x, entonces se trata de una elipse vertical, cuyos eje mayor y eje focal son paralelos al eje y.

Si en lugar de la ecuación ordinaria se tiene la fórmula general, será necesario completar los cuadrados y acomodar la expresión hasta que se alcance la forma canónica.

Ejercicios resueltos

Determinar a partir de la ecuación si las siguientes elipses son horizontales o verticales:

1. *\dfrac{x^2}{31}+\dfrac{y^2}{32}=1*
2. *9x^2+4y^2=25*
3. *4x^2+9y^2=36*
4. *16x^2+9y^2=144*
5. *16x^2+25y^2=100*
6. *36x^2+25y^2+72x-200y-464=0*
7. *2x^2+4x+7y^2-28y-40=0*
8. *x^2+3y^2-6x+6y=0*

Soluciones

Ecuación 1

*\dfrac{x^2}{31}+\dfrac{y^2}{32}=1*

El denominador de y² es 32, el de x² es 31, como 32 > 31, el denominador más grande lo tiene el término con la variable y, por tanto la elipse es vertical.

Ecuación 2

*9x^2+4y^2=25*

Dividiendo los dos miembros entre 25 y simplificando se obtiene la forma canónica:

*\dfrac{9x^2+4y^2}{25}=\dfrac{25}{25}*

*\dfrac{9x^2}{25}+\dfrac{4y^2}{25}=1*

*\dfrac{x^2}{25/9}+\dfrac{y^2}{25/4}=1*

Como 25/9 ≈  2,78 y 25/4 = 6,25, el denominador más grande lo tiene y², por tanto la elipse tiene orientación vertical. 

Ecuación 3

*4x^2+9y^2=36*

Dividiendo ambos miembros entre 36 y simplificando:

*\dfrac{4x^2}{36}+\dfrac{9y^2}{36}=\dfrac{36}{36}*

*\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1*

Como 9 > 4, el denominador del término que tiene x es más grande al del término con y, por tanto la elipse es horizontal.

Ecuación 4

*16x^2+9y^2=144*

Dividiendo los dos lados de la ecuación entre 144 y simplificando, se obtiene la ecuación canónica:

*\dfrac{16x^2}{144}+\dfrac{9y^2}{144}=\dfrac{144}{144}*

*\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1*

Como 16 > 9, el denominador más grande está bajo y², por tanto la elipse es vertical.

Ecuación 5

*16x^2+25y^2=100*

Dividiendo ambos miembros entre 100 y simplificando los coeficientes, se obtiene:

*\dfrac{16x^2}{100}+\dfrac{25y^2}{100}=\dfrac{100}{100}*

*\dfrac{x^2}{25/4}+\dfrac{y^2}{4}=1 *

Como 25/4 = 6,25 es mayor a 4, el denominador más grande se encuentra bajo x², por tanto la elipse es horizontal.

Ecuación 6 

*36x^2+25y^2+72x-200y-464=0*

Si completamos los cuadrados se obtiene la siguiente expresión equivalente en forma canónica:

*\dfrac{(x+1)^2}{25}+\dfrac{(y-4)^2}{36}=1*

Como 36 > 25, el denominador más grande se encuentra bajo el término que contiene a la variable y, por tanto la elipse es vertical. 

Para ver ejemplos de cómo completar los cuadrados visita el siguiente artículo:

Cómo pasar de la ecuación general a la canónica

Ecuación 7

*2x^2+4x+7y^2-28y-40=0 *

Completando los cuadrados se obtiene la forma canónica:

*\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1*

Como 35 > 10, el denominador mayor se encuentra en el término con la variable x, resultando en una elipse horizontal.

Ecuación 8

*x^2+3y^2-6x+6y=0*

Completando los cuadrados se obtiene:

*\dfrac{(x-3)^2}{12}+\dfrac{(y+1)^2}{4}=1*

Como 12 > 4, el denominador mayor está en el término con la variable x, por tanto la elipse tiene su eje mayor horizontal.

Recursos adicionales

El siguiente video explica las elipses horizontales y verticales: