Directriz de una parábola

La directriz de una parábola es una línea recta que es perpendicular a su eje de simetría y que no toca la parábola. Esta recta aparece en la definición de la cónica, ya que una parábola es el conjunto de puntos que están a igual distancia de una recta llamada directriz y de un punto llamado foco. 

Ecuación de la directriz

Si la parábola es vertical, su directriz es horizontal; si la parábola es horizontal, su directriz es vertical. La distancia del vértice a la directriz es igual a |p| (valor absoluto de p), donde p es el parámetro que aparece en la ecuación canónica de la parábola. Podemos utilizar este valor para determinar la ecuación de la directriz, ya que esta siempre se encontrará a |p| unidades del vértice. 

Vértice en el origen

Si el vértice es el origen, tenemos dos casos posibles:

• La ecuación y² = 4px representa una parábola horizontal cuyo eje de simetría es el eje x, las ramas abren hacia la derecha si p > 0 y hacia la izquierda si p < 0. La directriz en este caso tiene ecuación x = -p.
• La ecuación x² = 4py es de una parábola vertical que abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0, el eje focal es el eje y. La ecuación de la directriz es y = -p.

Las ecuaciones se resumen en la siguiente tabla.

Ecuación de la parábola	Orientación	Apertura	Ecuación de la directriz
y2 = 4px	Horizontal	Hacia la derecha si p > 0 Hacia la izquierda si p < 0	x = -p
x2 = 4py	Vertical	Hacia arriba si p > 0 Hacia abajo si p < 0	y = -p

Ejemplo 1

Obtener la ecuación de la directriz de la parábola *x^2=6y*

Solución

Comenzamos identificando que la ecuación proporcionada se asemeja a la forma estándar *x^2=4py,* correspondiente a una parábola vertical con vértice en el origen.

Comparando ambas ecuaciones, observamos que *4p=6,* lo que nos permite despejar *p* para encontrar el valor del parámetro. Haciendo esto, obtenemos *p=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.*

Con esto, llegamos al segundo paso donde determinamos la ecuación de la directriz. Para una parábola vertical que abre hacia arriba, la directriz es una recta horizontal ubicada a una distancia *p* por debajo del vértice. Por lo tanto, su ecuación es *y=-p.* Sustituyendo el valor de *p,* la ecuación de la directriz resulta ser:

*y=-\dfrac{3}{2}*

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la directriz de la parábola horizontal *x=-10y^2*

Solución

Como primer paso, reescribimos la ecuación en su forma estándar para identificar los parámetros clave. La ecuación dada es *x=-10y^2,* que puede expresarse como:

*x=-10y^2 \quad → \quad y^2=-\dfrac{1}{10}x*

Esta forma corresponde a una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, ya que el parámetro p es negativo.

Ahora podemos compararla con la forma estándar de una parábola horizontal:

*y^2=4px*

Igualando las dos expresiones, tenemos:

*4p=-\dfrac{1}{10} \quad → \quad p=-\dfrac{1}{40}*

La directriz de una parábola horizontal tiene como ecuación:

*x=-p*

Por tanto, la ecuación de la recta directriz es:

*x=-\left(-\dfrac{1}{40}\right)=\dfrac{1}{40}*

Vértice fuera del origen

Si el vértice no está en origen de coordenadas sino en un punto (h, k), para obtener la ecuación de la directriz, el valor h se suma al lado derecho de la ecuación en las parábolas horizontales; y en parábolas verticales se suma el valor k. Las fórmulas y ecuaciones se resumen en la siguiente tabla:

Ecuación de la parábola	Orientación	Apertura	Ecuación de la directriz
(y - k)2 = 4p (x - h)	Horizontal	Hacia la derecha si p > 0 Hacia la izquierda si p < 0	x = h - p
(x - h)2 = 4p (y - k)	Vertical	Hacia arriba si p > 0 Hacia abajo si p < 0	y = k - p

Ejemplo 1

Hallar la directriz de una parábola cuya ecuación es *(y-7)^2=12(x - 4).*

Solución

Comparando la ecuación dada con la canónica de una parábola horizontal *(y-k)^2=4p (x-h),* deducimos que el vértice de la parábola es *(4, 7).* Además, al igualar *4p* con el coeficiente del término lineal en *x,* obtenemos *4p=12,* lo que implica que *p=3.*

Dado que la ecuación tiene la forma *(y-k)^2=4p (x-h),* sabemos que la parábola abre hacia la derecha si el parámetro p es positivo y hacia la izquierda si es negativo. En este caso, como *p=3>0,* la parábola abre hacia la derecha. Por lo tanto, la directriz será una recta vertical ubicada a |p| unidades a la izquierda del vértice.

La ecuación de la directriz para este caso es *x=h-p.* Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: *x=4-3=1*

Finalmente, concluimos que la directriz de la parábola es la recta vertical dada por la ecuación 

*x=1*

Ejemplo 2

Si una parábola tiene un eje de simetría vertical con vértice en (1, 4) y su foco en (1, 2), encuentre la ecuación de la directriz.

Solución

Observamos que tanto el vértice como el foco tienen la misma coordenada *x=1,* lo que confirma que el eje de simetría es vertical. Como el foco está en *(1, 2)* y el vértice en *(1, 4),* la parábola se abre hacia abajo, ya que el foco está por debajo del vértice.

El parámetro p será negativo y lo calculamos como:

*p=y_{\text{foco}}-y_{\text{vértice}}=2-4=-2*

Por lo tanto, *p=-2.*

Para una parábola vertical que abre hacia abajo, la directriz es una recta horizontal ubicada a una distancia *p* por encima del vértice. Su ecuación general es:

*y=y_{\text{vértice}}-p*

Sustituyendo los valores conocidos:

*y=4-(-2)=4+2=6*

Así, la ecuación de la directriz es:

*y=6*

Ejemplo 3

Calcular la directriz de la parábola *(y+3)^2=-8(x+2)*

Solución

Comenzamos reconociendo que expresión tiene la forma estándar de una parábola horizontal: *(y-k)^2=4p (x-h).*

Primero, identificamos el vértice *(h, k).* Comparando con la forma estándar, observamos que:

*h=-2, \quad k=-3*

Además, el valor *-8* corresponde a *4p,* por lo que:

*4p=-8 \quad → \quad p=-2*

Dado que p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda. La directriz es una recta vertical ubicada a |p| unidades del vértice en la dirección opuesta a la apertura. Su ecuación es:

*x=h-p*

Sustituyendo los valores conocidos:

*x=-2-(-2) \quad → \quad x=-2+2=0*

Finalmente, concluimos que la recta directriz de la parábola está dada por la ecuación: 

*x=0*

Ejemplo 4

Determinar la ecuación de la recta directriz de la parábola *x^2-4y+28=0*

Solución

Comenzamos por reescribir la ecuación en su forma canónica. Primero, despejamos el término cuadrático y los términos lineales:

*x^2=4y-28*

*x^2=4 (y-7)*

Ahora, al comparar esta ecuación con la forma canónica de una parábola vertical *(x-h)^2=4p (y-k),* identificamos que el vértice *(h, k)* corresponde a *(0, 7).* Además, igualando el coeficiente del término lineal en *y* con *4p,* obtenemos *4p=4,* lo que implica *p=1.*

Como p > 0, la parábola abre hacia arriba. La directriz será una recta horizontal ubicada |p| unidades por debajo del vértice, su ecuación es *y=k-p.* Sustituyendo los valores conocidos, resulta:

*y=7-1*

*y=6*

Finalmente, concluimos que la directriz de la parábola es la recta horizontal dada por la ecuación:

*y=6*

Bibliografía

• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.