Parábola

En este artículo explicamos qué es una parábola en matemáticas, estudiamos sus elementos, ecuaciones, propiedades y aplicaciones, entre otras cosas.

¿Qué es una parábola?

Una parábola es una curva abierta y continua cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una línea recta fija, llamada directriz.

La parábola también puede interpretarse como una sección cónica que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano paralelo a una de sus generatrices.

Elementos

Los elementos más importantes de la parábola son:

• Foco: es el punto fijo del plano que se menciona en la definición.
• Directriz: es la línea fija utilizada en la definición de la parábola. Cada punto de la parábola está a una distancia igual del foco y de la directriz.
• Distancia focal: es la distancia entre la directriz y el foco.
• Vértice: es el punto de la parábola que está más cercano tanto al foco como a la directriz.
• Eje focal: también conocido como eje de simetría, es la línea que pasa por el foco y el vértice y es perpendicular a la directriz. Divide a la parábola en dos partes simétricas. 
• Lado recto: es el segmento que une dos puntos de la parábola, pasa por el foco y es perpendicular al eje focal. 

Ecuación canónica

La ecuación canónica de la parábola varía dependiendo de la ubicación del vértice y la orientación del eje focal. El parámetro p es la distancia desde el foco al vértice, siendo 2p la distancia focal.

Parábolas con vértice en el origen (0, 0):

1) Eje de simetría horizontal

• Abierta hacia la derecha: *y^2=4px*
• Abierta hacia la  izquierda *y^2=-4px*

2) Eje de simetría vertical

• Abierta hacia arriba (convexa): *x^2=4py*
• Abierta hacia abajo (concava): *x^2=-4py*

Ejemplos

Parábolas con vértice fuera del origen en coordenadas (h, k):

1) Eje de simetría horizontal

• Abierta hacia la derecha: *(y-k)^2=4p(x-h)*
• Abierta hacia la izquierda: *(y-k)^2=-4p(x-h)*

2) Eje de simetría vertical

• Abierta hacia arriba (convexa): *(x-h)^2=4p(y-k)*
• Abierta hacia abajo (cóncava): *(x-h)^2=-4p(y-k)*

Ejemplos

Obtención del vértice y la distancia focal

Los datos necesarios para determinar el vértice, la distancia focal y la orientación del eje de simetría de una parábola se pueden obtener directamente al leer su ecuación canónica. La variable que no está elevada al cuadrado indica a cuál eje cartesiano es paralelo el eje de simetría.

Ejemplo 1: *(x-2)^2=8y+16*

Esta ecuación tiene eje de simetría paralelo al eje y, porque la x está elevada al cuadrado. Buscamos que la ecuación tenga la forma *(x-h)^2=4p(y-k),* para esto sacamos factor común 8 en el segundo miembro.

*(x-2)^2=8y+16*

*(x-2)^2=8(y+2)*

Aquí identificamos:

*x-h=x-2→h=2*

*y-k=y+2→k=-2*

*4p=8 → p=2 → 2p=4*

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (2, -2) y la distancia focal es 2p=4.

Ejemplo 2: *(y+1)^2-10x-30=0*

Esta ecuación tiene eje de simetría paralelo al eje x, porque la y está elevada al cuadrado. Buscamos que la ecuación tenga la forma *(y-k)^2=4p(x-h),* para esto, aislamos el término cuadrático y sacamos factor un común conveniente.

*(y+1)^2-10x-30=0*

*(y+1)^2=10x+30*

*(y+1)^2=10(x+3)*

Aquí podemos identificar:

*x-h=x+3→h=-3*

*y-k=y+1→k=-1*

*4p=10 → p=2,5 → 2p=5*

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (-3, -1) y la distancia focal es 2p=5.

Deducción de la ecuación

Para hallar la ecuación de la parábola, consideramos un caso más sencillo con la parábola abierta hacia la derecha, vértice en el origen y eje focal sobre el eje x.

Supongamos que el foco está en el punto F(p, 0) y la directriz es la línea vertical x = -p. 

La distancia de P(x, y) al foco F(p, 0): *\sqrt{(x-p)^2+y^2}*

La distancia de P(x, y) a la directriz x=-p es: *|x+p|*

Para cualquier punto P(x, y) en la parábola, la distancia al foco F(p, 0) es igual a la distancia a la directriz x=-p:

*\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|*

El valor absoluto se elimina considerando que x+p es positivo, ya que la parábola abre hacia la derecha.

*\sqrt{(x-p)^2+y^2}=x+p*

Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz:

*(x-p)^2+y^2=(x+p)^2*

Expandimos ambos lados:

*x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2*

Cancelamos *x^2* y *p^2* de ambos lados:

*-2px+y^2=2px*

*y^2=4px*

Por lo tanto, la ecuación de una parábola que abre hacia la derecha, con vértice en el origen y eje focal sobre el eje x, es:

*y^2=4px*

Para una parábola que abre hacia la izquierda, podemos hacer la deducción completa y llegar a una expresión similar a la anterior pero con un signo negativo en el segundo miembro:

*y^2=-4px*

Para los casos donde la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, el procedimiento es similar, pero invertimos la variable que está elevada al cuadrado.

Parábola que abre hacia arriba: *x^2=4py*

Parábola que abre hacia abajo: *x^2=-4py*

Esta deducción se puede extender para parábolas con vértices en puntos diferentes al origen, ajustando las coordenadas del vértice y del foco en consecuencia. Para simplificar, podemos usar las fórmulas de la transformación de coordenadas, reemplazando x por x-h e y por y-k en las ecuaciones antes halladas.

Ecuación general

Para abordar la ecuación general de la parábola, partiremos de las ecuaciones canónicas con vértice en (h, k). La ecuación de una parábola que abre hacia la derecha es:

*(y-k)^2=4p(x-h)*

Desarrollando esta ecuación, obtenemos:

*y^2-2ky+k^2=4px-4ph*

Reordenando los términos:

*y^2-2ky+k^2-4px+4ph=0*

*y^2-2ky-4px+(k^2+4ph)=0*

Esta expresión corresponde a la ecuación general de segundo grado con dos variables del tipo:

*Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0*

donde:

• *A=0*
• *C=1*
• *D=-4p*
• *E=-2k*
• *F=k^2+4ph*

La ecuación canónica de una parábola que abre hacia arriba es: *(x-h)^2=4p(y-k),* desarrollando esta ecuación, obtenemos:

*x^2-2hx-4py+(h^2+4pk)=0*

Esta expresión corresponde a la ecuación general de segundo grado con dos variables del tipo:

*Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0*

Donde:

• *A=1*
• *C=0*
• *D=-2h*
• *E=-4p*
• *F=h^2+4pk*

Para que una ecuación del tipo *Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0* represente una parábola, la condición necesaria es que el producto de los coeficientes A y C sea igual a cero: AC=0. Esto es porque solo puede existir un término cuadrático en la ecuación. 

Si A y C son cero simultáneamente, la ecuación no representa una parábola, ya que no habría términos cuadráticos presentes, sino que la ecuación representaría una línea o a ningún lugar geométrico real. También es importante que si un término cuadrático existe, también exista un término lineal de la otra variable para que se forme una parábola.

En los casos donde solo uno de estos coeficientes es cero, obtenemos una parábola con un eje de simetría específico:

• Si A=0, C≠0 y D≠0, la ecuación se simplifica a una forma que incluye el término y² pero no el término x², o sea Cy² + Dx + Ey + F = 0. Esto indica que la parábola tiene su eje de simetría paralelo al eje x, abriéndose hacia la derecha o hacia la izquierda.
• Si C=0, A≠0 y  E≠0, la ecuación se simplifica a una forma que incluye el término x² pero no el término y², o sea Ax² + Dx + Ey + F = 0. Esto indica que la parábola tiene su eje de simetría paralelo al eje y, abriéndose hacia arriba o hacia abajo.

Propiedades

Toda parábola tiene un eje de simetría que pasa por su vértice y es perpendicular a su directriz. Este eje divide la parábola en dos mitades iguales, de manera que cada punto en un lado de la parábola tiene un punto correspondiente en el otro lado, equidistante del eje de simetría. 

El lado recto es un segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría, cuyos extremos tocan la parábola. La longitud del lado recto de una parábola es L=4p, donde p es la distancia del vértice al foco. Esta medida proporciona una idea directa de la "apertura" de la parábola.

Una de las propiedades más importantes y aplicadas de las parábolas es su propiedad reflectiva, la cual establece que cualquier rayo de luz que entra paralelamente al eje de simetría de la parábola se refleja hacia el foco. Asimismo, cualquier rayo que emane desde el foco se reflejará y saldrá de la parábola de forma paralela al eje de simetría. 

Esto ocurre debido a la geometría de la parábola, que asegura que los ángulos de incidencia y reflexión son tales que todos los rayos convergen en el foco o se dispersan desde él en direcciones paralelas. 

Relación con la función cuadrática

La ecuación de una parábola con eje de simetría vertical se puede desarrollar y expresar en la forma *y=ax^2+bx+c,* que es una función cuadrática de x cuya gráfica es la parábola. 

No todas las parábolas son gráficas de funciones, sino solo aquellas cuyo eje de simetría es vertical. Esto se debe a que, para que una relación sea una función, cada valor de x debe corresponder a un único valor de y. Las parábolas con un eje de simetría horizontal no cumplen esta condición, ya que para algunos valores de x existen dos valores de y.

Para una parábola escrita en la forma *y=f(x)=ax^2+bx+c,* las coordenadas del vértice se pueden encontrar utilizando la fórmula: *\left(-\dfrac{b}{2a},f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)*

La ecuación del eje de simetría es *x=-\dfrac{b}{2a}.*

El valor del coeficiente a determina la dirección en la que abre la parábola. Si a > 0, se abre hacia arriba, pero si a < 0, se abre hacia abajo. La anchura de la curva está determinada por el valor absoluto de a; un valor absoluto más alto hace que sea más estrecha, mientras que un menor valor absoluto la hace más ancha.

Las raíces de la función cuadrática, o los puntos donde la parábola cruza el eje x, se calculan utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

*x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*

El discriminante *b^2-4ac* determina la naturaleza de las raíces: si es positivo, hay dos raíces reales y distintas; si es cero, hay una raíz real doble; y si es negativo, no hay raíces reales.

Aplicaciones

La parábola tiene diversos usos en la vida real y en diversas ciencias que aprovechan sus propiedades geométricas y reflectivas únicas.

En el campo de la óptica, los reflectores parabólicos son esenciales en varios dispositivos debido a la capacidad de la parábola para reflejar rayos paralelos hacia un punto focal. Por ejemplo, en faros, antenas parabólicas y reflectores de telescopios, esta propiedad maximiza la intensidad de la señal recibida o transmitida, permitiendo un enfoque preciso y eficiente de la luz o las ondas electromagnéticas.

En acústica, los micrófonos parabólicos utilizan la propiedad reflectiva de la parábola para captar sonido desde una dirección específica. Al concentrar las ondas sonoras en el foco de la parábola, estos dispositivos aumentan la claridad y el volumen del sonido captado, siendo especialmente útiles en la grabación de sonidos distantes o en ambientes con mucho ruido de fondo.

En el ámbito de la astronomía, los telescopios parabólicos emplean espejos con forma parabólica para concentrar la luz de estrellas y otros objetos celestes en un solo punto. Esta capacidad de enfoque permite observaciones más claras y precisas, facilitando descubrimientos astronómicos y estudios detallados del universo.

En ingeniería y arquitectura, las formas parabólicas se integran en el diseño de puentes y estructuras, como en los puentes colgantes. Esta geometría es preferida por su capacidad para distribuir fuerzas de manera uniforme y eficiente, aumentando la estabilidad y durabilidad de las construcciones. 

La balística y física también se benefician de las propiedades de las parábolas. Las trayectorias de proyectiles, en ausencia de resistencia del aire, siguen una parábola bajo la influencia de la gravedad. Este principio es fundamental en la física y en aplicaciones militares para calcular el alcance y la trayectoria de misiles y otros proyectiles. 

En economía y negocios, algunas curvas de demanda y oferta se modelan utilizando funciones cuadráticas, que son parábolas. Estas funciones ayudan a entender cómo cambian los precios y las cantidades demandadas u ofrecidas en respuesta a diferentes factores.

Resumen de ecuaciones

Ecuación	Eje de simetría	Apertura	Vértice	Foco	Directriz
y2 = 4px	El eje x	Hacia la derecha	(0, 0)	(p, 0)	x=-p
y2 = -4px	El eje x	Hacia la izquierda	(0, 0)	(-p, 0)	x=p
x2 = 4py	El eje y	Hacia arriba	(0, 0)	(0, p)	y=-p
x2 = -4py	El eje y	Hacia abajo	(0, 0)	(0, -p)	y=p
(y - k)2 = 4p(x - h)	Paralelo al eje x	Hacia la derecha	(h, k)	(h+p, k)	x-h=-p
(y - k)2 = -4p(x - h)	Paralelo al eje x	Hacia la izquierda	(h, k)	(h-p, k)	x-h=p
(x - h)2 = 4p(y - k)	Paralelo al eje y	Hacia arriba	(h, k)	(h, k+p)	y-k=-p
(x - h)2 = -4p(y - k)	Paralelo al eje y	Hacia abajo	(h, k)	(h, k-p)	y-k=p

Puntos clave

• Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una línea fija llamada directriz. 
• Los elementos principales de la parábola son el foco, la directriz y el eje focal. También existen otros como la distancia focal y el lado recto. 
• Una de las propiedades más destacadas y útiles de las parábolas es su capacidad para reflejar los rayos de luz. Cualquier rayo de luz que incida paralelamente al eje de simetría será reflejado hacia el foco. De igual manera, cualquier rayo que provenga del foco se reflejará y saldrá paralelamente al eje de simetría.
• No todas las parábolas son funciones, sólo aquellas cuyo eje de simetría es vertical pueden ser gráficas de funciones. En estos casos, cada valor de x tiene un único valor de y. Sin embargo, cuando el eje de simetría es horizontal, la parábola no cumple con la definición de función.
• Los datos necesarios para encontrar el vértice, la distancia focal y la orientación del eje de simetría de una parábola se pueden obtener directamente de su ecuación canónica. En ella, la variable que no está elevada al cuadrado indica a cuál eje cartesiano es paralelo el eje de simetría.

Recursos adicionales

Para graficar parábolas y otras cónicas, recomiendo GeoGebra, una herramienta matemática gratuita e interactiva. Te permite crear gráficos precisos y explorar las propiedades de las figuras de manera intuitiva.

En la siguiente animación verás cómo se forma una parábola a partir del foco y la directriz. Podrás modificar parámetros como la posición del foco y de la directriz.

En el siguiente video se explica cómo graficar una parábola a mano en el contexto del dibujo técnico usando el foco y la directriz. Se muestra cómo trazar el eje, localizar el vértice, y obtener puntos usando distancias específicas, para luego unirlos y formar la curva.

En este video, se ofrece una lección acerca del uso de parábolas en proyectos de ingeniería, enfocándose particularmente en la construcción de puentes. Se detalla el proceso para diseñar un puente parabólico, establecer su ecuación fundamental y calcular segmentos precisos del puente mediante el uso de coordenadas y formulaciones matemáticas.

Lecturas recomendadas:

• Lehman, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.