Área de una elipse

Si ocurre que los semiejes son iguales (a = b), la elipse es una circunferencia. En este caso, llamamos r a las longitudes de los semiejes (r = a = b) y la fórmula del área es la conocida para la circunferencia: pi por el radio al cuadrado.

Área de una circunferencia = π ⋅ r²

La fórmula del área de la elipse se obtiene usando integrales, este es un concepto avanzado de Cálculo que no se tratará este artículo, pero si lo necesitas puedes ver la demostración en este video. A continuación, veremos algunos ejemplos del cálculo del área de una elipse.

Ejemplos

A continuación resolveremos algunos ejercicios sobre calcular el área de una elipse.

Ejemplo 1

Calcular el área de la elipse cuya ecuación es *\dfrac{y^2}{64}+\dfrac{x^2}{16}=1*

Solución: como la ecuación está en forma canónica, es posible extraer las longitudes de los semiejes, pues son las raíces cuadradas de los denominadores de las variables:

*a^2=64→a=\sqrt{64}=8*

*b^2=16→b=\sqrt{16}=4*

Ahora, teniendo los valores de los semiejes, multiplicamos todo por pi para obtener el área:

*A=\pi\cdot 8\cdot 4=32\pi≈100,53*

Nota: recuerde que el área siempre se mide en unidades cuadradas. Por ejemplo, si las longitudes de los semiejes están en metros (m), el área estará en metros cuadrados (m²).

Ejemplo 2

Determinar el área de la elipse *\dfrac{(x+3)^2}{36}+\dfrac{(y-4)^2}{25}=1*

Solución: en este caso leemos en la ecuación canónica que la elipse no está centrada en el origen sino en el punto (-3, 4), sin embargo, este dato no afecta el área.

Obtenemos las longitudes de los semiejes:

*a^2=36→a=\sqrt{36}=6*

*b^2=25→b=\sqrt{25}=5*

Estos datos los reemplazamos en la fórmula del área:

*A=\pi \cdot 6\cdot 5=30\pi ≈ 94,25*

Ejemplo 3

Hallar el área de la elipse con ecuación *16x^2+25y^2=100.*

Solución: la ecuación no está en forma canónica así que no se pueden extraer directamente las longitudes de los semiejes.

Dividiendo entre 100 ambos miembros, se obtiene esta forma equivalente:

*\dfrac{x^2}{25/4}+\dfrac{y^2}{4}=1*

De aquí extraemos los semiejes:

*a^2=\dfrac{25}{4}→a=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}=2,5*

*b^2=4→b=\sqrt{4}=2*

Con esto, calculamos el área:

*A=\pi \cdot 2,5\cdot 2=5\pi≈15,71*

Ejemplo 4

Obtener el área de la elipse *2x^2+4x+7y^2-28y-40=0*

Solución: en este caso, la elipse no está en forma canónica sino en su forma general. Si completamos los cuadrados podemos llegar a la siguiente forma equivalente:

*\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1*

En esta ecuación vemos que la elipse está desplazada del origen y las longitudes de los semiejes pueden extraerse sencillamente:

*a^2=35→a=\sqrt{35}*

*b^2=10→b=\sqrt{10}*

Estos datos los reemplazamos en la fórmula del área:

*A=\pi \cdot \sqrt{35}\cdot \sqrt{10}≈58,77*

Por lo tanto, el área contenida en la elipse es aproximadamente 58,77 unidades cuadradas.

Recursos adicionales

Los siguientes videos explican cómo calcular el área de una elipse

Bibliografía

• Engler, A. y otros. (2020). Geometría Analítica. Universidad Nacional del Litoral.
• Fuller, G. y Tarwater, D. (1995). Geometría Analítica (7ma edición). Pearson Educación.
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• Márquez, A. y otros. (2009). Geometría Analítica. Prentice Hall.
• Orozco Martínez, I. y Cisneros Díaz, I. (2022). Área de la circunferencia, elipse y esfera. Revista Científica de FAREM-Estelí.
• Raichman, S. y Totter, E. (2016). Geometría Analítica para Ciencias e Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo.