Distancia focal de una parábola

La distancia focal de una parábola es la distancia que existe entre el vértice y el foco a lo largo del eje de simetría. Este valor se puede determinar a partir de la ecuación canónica de la parábola.

Una parábola vertical con vértice en el origen tiene por ecuación x² = 4py, mientras que una horizontal tiene como ecuación y² = 4px. En ambos casos, la distancia focal es:

d_F = |p|

Es decir, el valor absoluto del parámetro "p" de la ecuación. Si el vértice está en otro punto, la fórmula no cambia.

La distancia entre el vértice y el foco afecta a la "apertura" de la parábola:

• Si |p| es grande, la parábola es más ancha.
• Si |p| es pequeña, la parábola es más estrecha.

Ejemplos

Vimos que para determinar la distancia focal es necesario tener la ecuación canónica y calcular el valor absoluto del parámetro p. Sin embargo, si se tiene la ecuación general en las formas y = ax² + bx + c (parábolas verticales) o x = ay² + by + c (parábolas horizontales), puede obtenerse la distancia focal calculando |1 / (4a)|, siendo "a" el coeficiente principal. Esto ocurre porque p = 1 / (4a).

Ecuación de la parábola	Distancia focal
x2 = 4py y2 = 4px	|p|
y = ax2 + bx + c x = ay2 + by + c	|1 / (4a)|

Ejercicio

Calcular la distancia focal de las siguientes parábolas:

1. \(y^2=-8x\)
2. \((x+2)^2=-6(y-3)\)
3. \((y-2)^2=4(x-1)\)
4. \(x^2=-4 (y-7)\)
5. \(y=-2x^2+3x-5\)
6. \(-3y^2-x+6y=0\)

Solución 1

Ecuación: \(y^2=-8x\)

Se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen. La forma estándar es \(y^2=4px,\) donde \(4p=-8.\) Al despejar p, obtenemos \(p=-2.\) La distancia focal se calcula como \(|p|,\) por lo que resulta igual a 2.

Solución 2

Ecuación: \((x+2)^2=-6 (y-3)\)

Esta es una parábola vertical con vértice en (-2, 3). La forma estándar es \((x-h)^2=4p (y-k),\) donde \(4p=-6.\) Hallamos \(p=-1,5\) y la distancia focal es \(|p|=1,5.\)

Solución 3

Ecuación: \((y-2)^2=4 (x-1)\)

Corresponde a una parábola horizontal con vértice en (1, 2). Comparando con la forma \((y-k)^2=4p (x-h),\) determinamos que \(4p=4,\) así que \(p=1.\) La distancia focal es \(|p|=1.\)

Solución 4

Ecuación: \(x^2=-4 (y-7)\)

Es una parábola vertical con vértice en \((0, 7).\) La ecuación se ajusta a \(x^2=4p (y-k),\) donde \(4p=-4.\) Calculamos \(p=-1,\) y la distancia focal es \(|p|=1.\)

Solución 5

Ecuación: \(y=-2x^2+3x-5\)

Identificamos que es una parábola vertical con coeficiente principal \(a=-2.\) La distancia focal se calcula directamente como:

\(\text{Distancia focal}=\left| \dfrac{1}{4a} \right|=\left| \dfrac{1}{4(-2)} \right|=\left|-\dfrac{1}{8} \right|=0,125\)

Solución 6

Ecuación: \(-3y^2-x+6y=0\)

Despejamos \(x\) para expresarla como \(x=ay^2+by+c:\)

\(x=-3y^2+6y\)

El coeficiente principal es \(a=-3.\)

La distancia focal se calcula como:

\(\text{Distancia focal}=\left| \dfrac{1}{4a} \right|=\left| \dfrac{1}{4(-3)} \right|=\left|-\dfrac{1}{12} \right|=\dfrac{1}{12} ≈ 0,0833\)