Circunferencia que pasa por tres puntos

Por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia que los contiene. Podemos determinarla utilizando métodos geométricos, como la mediatriz de un segmento, o métodos algebraicos, a partir de las coordenadas de los puntos.

Cuando tres puntos están alineados, no es posible definir una circunferencia que los incluya. En el caso de que dos de los puntos sean idénticos, el problema carece de una solución única, ya que infinitas circunferencias pueden pasar por dos puntos.

Cómo encontrar la ecuación de la circunferencia

Para encontrar la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados, partimos de su ecuación general en el plano cartesiano:

*x^2+y^2+Dx+Ey+F=0*

Sean *A (x_1, y_1)*, *B (x_2, y_2)* y *C (x_3, y_3)* tres puntos no alineados. Dado que estos puntos pertenecen a la circunferencia, satisfacen su ecuación general. 

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1) Sustituir cada punto en la ecuación general. Al hacer esto, se obtienen tres ecuaciones:

Para A: *x_1^2+y_1^2+D x_1+E y_1+F=0*

Para B: *x_2^2+y_2^2+D x_2+E y_2+F=0*

Para C: *x_3^2+y_3^2+D x_3+E y_3+F=0*

2) Resolver el sistema de las tres ecuaciones anteriores, el cual tiene tres incógnitas: los coeficientes D, E y F. 

*\begin{cases} x_1^2+y_1^2+D x_1+E y_1+F=0 \\ x_2^2+y_2^2+D x_2+E y_2+F=0 \\ x_3^2+y_3^2+D x_3+E y_3+F=0 \end{cases}*

3) Una vez conocidos D, E y F, sustituirlos en la ecuación general de la circunferencia.

4) Opcionalmente, convertir de la forma general a la canónica para conocer el centro y el radio de la circunferencia. 

Ejemplos

Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados:

1. A(5, 0),   B(0, 5),   (-5, 0).
2. A(0, 0),   B(3, 6),   C(7, 0).
3. A(2, -2),   B(-1, 4),   C(4, 6).
4. A(9, -1),   B(7, 3),   C(4, 8).
5. A(-1, 1),   B(3, 5),   C(5, -3).

Solución 1

Determinamos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos *A(5; 0)*, *B(0; 5)* y *C(-5; 0).* Sustituimos cada punto en la ecuación general *x^2+y^2+Dx+Ey+F=0:*

Para *A(5; 0):*

*5^2+0^2+D \cdot 5+E \cdot 0+F=0 → 25+5D+F=0 \quad (1)*

Para *B(0; 5):*

*0^2+5^2+D \cdot 0+E \cdot 5+F=0 → 25+5E+F=0 \quad (2)*

Para *C(-5; 0):*

*(-5)^2+0^2+D \cdot (-5)+E \cdot 0+F=0 → 25-5D+F=0 \quad (3)*

Restamos la ecuación (3) de la (1):

*(25+5D+F)-(25-5D+F)=0 → 10D=0 → D=0*

Sustituyendo *D=0* en (1):

*25+0+F=0 → F=-25*

Sustituyendo *F=-25* en (2):

*25+5E-25=0 → 5E=0 → E=0*

La ecuación general queda:

*x^2+y^2-25=0 → x^2+y^2=25*

Esta es la forma canónica, donde el centro es *(0; 0)* y el radio *r=5.*

Solución 2

Hallamos la circunferencia que pasa por *A(0; 0)*, *B(3; 6)* y *C(7; 0).* Sustituimos en la ecuación general:

Para *A(0; 0):*

*0+0+0+0+F=0 → F=0 \quad (1)*

Para *B(3; 6):*

*9+36+3D+6E+0=0 → 3D+6E=-45 \quad (2)*

Para *C(7; 0):*

*49+0+7D+0+0=0 → 7D=-49 → D=-7 \quad (3)*

Sustituyendo *D=-7* en (2):

*3(-7)+6E=-45 →-21+6E=-45 → 6E=-24 → E=-4*

La ecuación general es:

*x^2+y^2-7x-4y=0*

Completamos cuadrados para obtener la forma canónica:

*x^2-7x+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2+y^2-4y+4=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2+4*

*\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+(y-2)^2=\dfrac{49}{4}+4=\dfrac{65}{4}*

El centro es *\left(\dfrac{7}{2}; 2\right)* y el radio *r=\sqrt{\dfrac{65}{4}}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}.*

Solución 3

Calculamos la circunferencia que pasa por *A(2;-2)*, *B(-1; 4)* y *C(4; 6).* Sustituimos:

Para *A(2;-2):*

*4+4+2D-2E+F=0 → 2D-2E+F=-8 \quad (1)*

Para *B(-1; 4):*

*1+16-D+4E+F=0 →-D+4E+F=-17 \quad (2)*

Para *C(4; 6):*

*16+36+4D+6E+F=0 → 4D+6E+F=-52 \quad (3)*

Restamos (1) de (2):

*(-D+4E+F)-(2D-2E+F)=-17+8 →-3D+6E=-9 \quad (4)*

Restamos (2) de (3):

*(4D+6E+F)-(-D+4E+F)=-52+17 → 5D+2E=-35 \quad (5)*

Resolviendo (4) y (5):

De (4): *-3D+6E=-9 →-D+2E=-3 \quad (4')*

De (5): *5D+2E=-35*

Restamos (4') de (5):

*6D=-32 → D=-\dfrac{16}{3}*

Sustituyendo en (4'):

*\dfrac{16}{3}+2E=-3 → 2E=-\dfrac{25}{3} → E=-\dfrac{25}{6}*

Sustituyendo *D* y *E* en (1):

*2\left(-\dfrac{16}{3}\right)-2\left(-\dfrac{25}{6}\right)+F=-8 →-\dfrac{32}{3}+\dfrac{25}{3}+F=-8 → F=\dfrac{7}{3}-8=-\dfrac{17}{3}*

La ecuación general es:

*x^2+y^2-\dfrac{16}{3}x-\dfrac{25}{6}y-\dfrac{17}{3}=0*

Multiplicamos por 6 para eliminar fracciones:

*6x^2+6y^2-32x-25y-34=0*

Completamos cuadrados:

*6\left(x^2-\dfrac{16}{3}x\right)+6\left(y^2-\dfrac{25}{6}y\right)=34*

*6\left[\left(x-\dfrac{8}{3}\right)^2-\dfrac{64}{9}\right]+6\left[\left(y-\dfrac{25}{12}\right)^2-\dfrac{625}{144}\right]=34*

*6\left(x-\dfrac{8}{3}\right)^2+6\left(y-\dfrac{25}{12}\right)^2=34+\dfrac{384}{9}+\dfrac{625}{24}*

Simplificando:

*\left(x-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{25}{12}\right)^2=\dfrac{2465}{144}*

Obtenemos el centro *\left(\dfrac{8}{3}; \dfrac{25}{12}\right)* y el radio *r=\dfrac{\sqrt{2465}}{12}.*

Solución 4

Determinamos la circunferencia que pasa por los puntos *A(9;-1)*, *B(7; 3)* y *C(4; 8).* Sustituimos cada punto en la ecuación general *x^2+y^2+Dx+Ey+F=0:*

Para *A(9;-1):*

*81+1+9D-E+F=0 → 9D-E+F=-82 \quad (1)*

Para *B(7; 3):*

*49+9+7D+3E+F=0 → 7D+3E+F=-58 \quad (2)*

Para *C(4; 8):*

*16+64+4D+8E+F=0 → 4D+8E+F=-80 \quad (3)*

Restamos (1) de (2):

*(7D+3E+F)-(9D-E+F)=-58+82 →-2D+4E=24 →-D+2E=12 \quad (4)*

Restamos (2) de (3):

*(4D+8E+F)-(7D+3E+F)=-80+58 →-3D+5E=-22 \quad (5)*

Resolvemos el sistema entre (4) y (5):

De (4): *D=2E-12.*

Sustituyendo en (5):

*-3(2E-12)+5E=-22 →-6E+36+5E=-22 →-E=-58 → E=58*

Luego, *D=2(58)-12=104.*

Sustituyendo *D=104* y *E=58* en (1):

*9(104)-58+F=-82 → 936-58+F=-82 → F=-960*

La ecuación general es:

*x^2+y^2+104x+58y-960=0*

Completamos cuadrados:

*x^2+104x+y^2+58y=960*

*(x^2+104x+2704)+(y^2+58y+841)=960+2704+841*

*(x+52)^2+(y+29)^2=4505*

El centro es *(-52;-29)* y el radio *r=\sqrt{4505}.*

Solución 5

Hallamos la circunferencia que pasa por *A(-1; 1)*, *B(3; 5)* y *C(5;-3).* Sustituimos en la ecuación general:

Para *A(-1; 1):*

*1+1-D+E+F=0 →-D+E+F=-2 \quad (1)*

Para *B(3; 5):*

*9+25+3D+5E+F=0 → 3D+5E+F=-34 \quad (2)*

Para *C(5;-3):*

*25+9+5D-3E+F=0 → 5D-3E+F=-34 \quad (3)*

Restamos (1) de (2):

*(3D+5E+F)-(-D+E+F)=-34+2 → 4D+4E=-32 → D+E=-8 \quad (4)*

Restamos (2) de (3):

*(5D-3E+F)-(3D+5E+F)=-34+34 → 2D-8E=0 → D=4E \quad (5)*

Sustituyendo (5) en (4):

*4E+E=-8 → 5E=-8 → E=-\dfrac{8}{5}*

Luego, *D=4\left(-\dfrac{8}{5}\right)=-\dfrac{32}{5}.*

Sustituyendo *D* y *E* en (1):

*-\left(-\dfrac{32}{5}\right)-\dfrac{8}{5}+F=-2 → \dfrac{32}{5}-\dfrac{8}{5}+F=-2 → F=-2-\dfrac{24}{5}=-\dfrac{34}{5}*

La ecuación general es:

*x^2+y^2-\dfrac{32}{5}x-\dfrac{8}{5}y-\dfrac{34}{5}=0*

Multiplicamos por 5 para eliminar fracciones:

*5x^2+5y^2-32x-8y-34=0*

Completamos cuadrados:

*5\left(x^2-\dfrac{32}{5}x\right)+5\left(y^2-\dfrac{8}{5}y\right)=34*

*5\left[\left(x-\dfrac{16}{5}\right)^2-\dfrac{256}{25}\right]+5\left[\left(y-\dfrac{4}{5}\right)^2-\dfrac{16}{25}\right]=34*

*5\left(x-\dfrac{16}{5}\right)^2+5\left(y-\dfrac{4}{5}\right)^2=34+\dfrac{1280}{25}+\dfrac{80}{25}*

*\left(x-\dfrac{16}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{850+1280+80}{125}=\dfrac{2210}{125}=\dfrac{442}{25}*

El centro es *\left(\dfrac{16}{5}; \dfrac{4}{5}\right)* y el radio *r=\sqrt{\dfrac{442}{25}}=\dfrac{\sqrt{442}}{5}.*

Hallar la circunferencia usando mediatrices

Otra forma de determinar la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados es a través del circuncentro, que es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo formado por esos puntos.

Una mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Al trazar las mediatrices de al menos dos lados, su punto de intersección será el centro de la circunferencia buscada. El radio será la distancia desde ese centro a cualquiera de los tres puntos.

Este método se puede aplicar de dos formas:

• Geométricamente, utilizando regla, compás y escuadra para trazar las mediatrices con precisión sobre papel.
• Analíticamente, calculando las ecuaciones de las mediatrices en el plano cartesiano y resolviendo su sistema para encontrar el punto de intersección (el circuncentro). Luego, se calcula el radio con la fórmula de distancia.

Procedimiento analítico

Sean *A (x_1, y_1)*, *B (x_2, y_2)* y *C (x_3, y_3)* los tres puntos dados.

1) Calcular el punto medio de dos lados del triángulo.

Por ejemplo, los puntos medios de *AB* y *BC*:

*M_{AB}=\left (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right) \quad M_{BC}=\left (\dfrac{x_2+x_3}{2}, \dfrac{y_2+y_3}{2} \right)*

2) Calcular las pendientes de los segmentos *AB* y *BC*.

*m_{AB}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad m_{BC}=\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}*

3) Obtener las pendientes de las mediatrices.

Las mediatrices son perpendiculares a los segmentos, por lo tanto sus pendientes son las negativas recíprocas:

*m_{\perp AB}=-\dfrac{1}{m_{AB}} \quad m_{\perp BC}=-\dfrac{1}{m_{BC}}*

En caso de pendiente nula o indefinida, se trata como recta vertical u horizontal.

4) Escribir las ecuaciones de las mediatrices usando la forma punto-pendiente con el punto medio y la pendiente perpendicular:

*y-y_M=m_{\perp} (x-x_M)*

Se debe hacer esto para las dos mediatrices.

5) Resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas. El punto de intersección es el centro *(h, k)* de la circunferencia.

6) Calcular el radio usando la fórmula de distancia entre el centro y cualquiera de los tres puntos:

*r=\sqrt{(x_1-h)^2+(y_1-k)^2}*

7) Escribir la ecuación de la circunferencia con el centro y el radio obtenidos antes:

*(x-h)^2+(y-k)^2=r^2*

Ejemplo

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(10, 0), B(20, 10) y C(10, 20) utilizando mediatrices. 

Solución

Primero, calculamos los puntos medios de los segmentos *AB* y *BC.* Para *AB,* el punto medio es:

*M_{AB}=\left(\dfrac{10+20}{2}, \dfrac{0+10}{2} \right)=(15; 5)*

Para *BC,* el punto medio es:

*M_{BC}=\left(\dfrac{20+10}{2}, \dfrac{10+20}{2} \right)=(15; 15)*

A continuación, hallamos las pendientes de los segmentos *AB* y *BC.* La pendiente de *AB* es:

*m_{AB}=\dfrac{10-0}{20-10}=1*

La pendiente de *BC* es:

*m_{BC}=\dfrac{20-10}{10-20}=-1*

Las mediatrices son perpendiculares a estos segmentos, por lo que sus pendientes son las negativas recíprocas:

*m_{\perp AB}=-\dfrac{1}{m_{AB}}=-1*

*m_{\perp BC}=-\dfrac{1}{m_{BC}}=1*

Ahora, escribimos las ecuaciones de las mediatrices usando la forma punto-pendiente. Para la mediatriz de *AB,* que pasa por *M_{AB}(15; 5):*

*y-5=-1(x-15) → y=-x+20*

Para la mediatriz de *BC,* que pasa por *M_{BC}(15; 15):*

*y-15=1(x-15) → y=x*

Resolvemos el sistema formado por las dos mediatrices para encontrar el centro *(h, k)* de la circunferencia:

*y=-x+20*

*y=x*

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

*x=-x+20 → 2x=20 → x=10*

Luego, *y=10.* Por tanto, el centro es *(10; 10).*

Finalmente, calculamos el radio como la distancia entre el centro y el punto *A(10; 0):*

*r=\sqrt{(10-10)^2+(0-10)^2}=\sqrt{0+100}=10*

La ecuación de la circunferencia es:

*(x-10)^2+(y-10)^2=100*

Método matricial

Existe un método más avanzado para obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.

Dados tres puntos *A (x_1, y_1)*, *B (x_2, y_2)* y *C (x_3, y_3)*, la ecuación de la circunferencia que los contiene viene dada por el siguiente determinante:

*\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0*

Este mismo determinante también se puede usar para verificar si cuatro puntos están sobre una misma circunferencia, es decir, si son concíclicos. Para eso, basta con armar una matriz similar incluyendo el cuarto punto *D (x_4, y_4)* como nueva fila:

*\begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 + y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0*

Si el valor del determinante es cero, entonces los cuatro puntos son concíclicos. En caso contrario, no están sobre la misma circunferencia.

Recursos adicionales

Geogebra posee una herramienta para calcular la ecuación de una circunferencia dados tres puntos del plano. Puedes usarla aquí modificando las posiciones de los puntos en el gráfico: