Foco de una parábola

El foco de una parábola es un punto fijo que está sobre el eje de simetría y alrededor del cual se “envuelve” la curva. Este punto aparece en la definición de parábola, ya que esta cónica es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia del foco y de una recta fija llamada directriz. 

El vértice se encuentra a la misma distancia del foco que de la directriz, esta distancia es |p|, siendo “p” el parámetro que aparece en la ecuación canónica. Usamos esta información para encontrar las coordenadas del foco:

• En una parábola horizontal con vértice (h, k) y ecuación (y - k)² = 4p (x - h), el foco está en las coordenadas (h + p, k).
• En una parábola vertical con vértice en (h, k) y ecuación (x - h)² = 4p (y - k), el foco está ubicado en (h, k + p).

Si el vértice está en el origen de coordenadas, el foco se encuentra en (p, 0) para parábolas horizontales y (0, p) para parábolas verticales.

Cómo hallar el foco

Vimos antes que para obtener el foco es necesario conocer el valor del parámetro p con su signo, las fórmulas se resumen en la siguiente tabla.

Si se tiene la ecuación general es necesario completar los cuadrados hasta llegar a la forma canónica y así obtener el valor del parámetro.

Ejemplos

Calcular las coordenadas del foco de las siguientes parábolas:

1. *y^2=8x*
2. *x^2=-2y*
3. *(x+2)^2=6(y-3)*
4. *(y-2)^2=4(x-1)*
5. *x^2-8x+10y+66=0*
6. *y^2+6x-8y+4=0*

Solución 1

Ecuación dada: *y^2=8x* 

Como primer paso, identificamos que la parábola es horizontal y tiene su vértice en el origen (0, 0). La forma estándar de una parábola horizontal es *y^2=4px.* Al comparar con la ecuación dada, *4p=8,* hallamos que *p=2.* Dado que el foco de una parábola horizontal con vértice en el origen está en (p, 0), determinamos que las coordenadas del foco son (2, 0).

Solución 2

Ecuación dada: *x^2=-2y* 

Se trata de una parábola vertical con vértice en (0, 0). La forma estándar es *x^2=4py.* Igualando *4p=-2,* calculamos *p=-0,5.* Para una parábola vertical con vértice en el origen, el foco se ubica en *(0, p).* Por lo tanto, encontramos que el foco está en *(0; -0,5).*

Solución 3

Ecuación dada: *(x+2)^2=6 (y-3)* 

Esta es una parábola vertical con vértice en (-2, 3). La forma estándar es *(x-h)^2=4p (y-k).* Comparando, *4p=6,* de donde sacamos *p=1,5.* Como el foco de una parábola vertical está en *(h, k+p),* determinamos que las coordenadas del foco son *(-2; 3+1,5)=(-2; 4,5).*

Solución 4

Ecuación dada: *(y-2)^2=4 (x-1)* 

Identificamos una parábola horizontal con vértice en (1, 2). La forma estándar es *(y-k)^2=4p (x-h).* En este caso, *4p=4,* por lo que *p=1.* Para una parábola horizontal, el foco se encuentra en *(h+p, k).* Hallamos así que el foco está en *(1+1, 2)=(2, 2).*

Solución 5

Ecuación dada: *x^2-8x+10y+66=0*  

La ecuación está en forma general, pero completando los cuadrados obtenemos la forma canónica: *(x-4)^2=-10 (y+5).*

Esta parábola es vertical con vértice en (4, -5). La ecuación estándar es *(x-h)^2=4p (y-k).* Al comparar, *4p=-10,* obteniendo *p=-2,5.* Sabemos que el foco de una parábola vertical está en *(h, k+p).* Por lo tanto, calculamos que el foco se ubica en *(4; -5-2,5)=(4; -7,5).*

Solución 6

Ecuación dada: *y^2+6x-8y+4=0*

Nuevamente, completamos los cuadrados para sacar la forma reducida: *(y-4)^2=-6 (x-2).*

Identificamos una parábola horizontal con vértice en (2, 4), cuya forma estándar es *(y-k)^2=4p (x-h).* Al comparar, *4p=-6,* de donde hallamos *p=-1,5.* Como el foco de una parábola horizontal está en *(h+p, k),* sustituimos los valores y determinamos que las coordenadas del foco son *(2-1,5~;~ 4)=(0,5~; ~4).*

Bibliografía consultada

• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.