Ejercicios de secciones cónicas

Solución 1

La ecuación ordinaria de una circunferencia con centro en el origen (0, 0) es *x^2+y^2=r^2,* donde r es el radio. Dado que el diámetro es *2\sqrt{11},* el radio es la mitad de este valor:

*r=\dfrac{2\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11}*

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:

*x^2+y^2=(\sqrt{11})^2 → x^2+y^2=11*

Solución 2

Para una circunferencia con centro en *(h, k)=(3,-4)* y radio *r=6,* la ecuación ordinaria es:

*(x-h)^2+(y-k)^2=r^2*

Reemplazando los valores dados:

*(x-3)^2+(y+4)^2=6^2*

*(x-3)^2+(y+4)^2=36*

Ejercicio 1

Datos del problema:

• Centro: (0, 0)
• Foco: (0, 3)
• Semieje mayor: a = 5

Como el centro y el foco están sobre el eje x, la elipse es horizontal, lo que significa que tendrá una ecuación de la forma:

*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Conocemos un semieje, obtendremos el otro mediante la relación fundamental. Primero necesitamos la semidistancia focal c, la cual es la distancia entre el centro y el foco, en este caso c = 3.

Ahora aplicamos la relación fundamental

*c^2=a^2-b^2→b^2=a^2-c^2*

Así:

*b^2=5^2-3^2=25-9=16*

Conociendo estos datos podemos armar la ecuación canónica de la elipse:

*\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1*

*\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1*

Conociendo las medidas a, b y c se pueden obtener los demás elementos de la elipse.

Elementos de la elipse:

• Focos: (0, 3) y (0, -3)
• Centro: (0, 0)
• Semiejes: a = 5 , b = 4
• Distancia focal: 2c = 6
• Vértices principales: (5, 0) y (-5, 0)
• Vértices secundarios: (0, 4) y (0, -4)
• Lado recto: *L_R=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 16}{5}=6,4*
• Excentricidad: *e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}=0,6*

Ejercicio 2

Datos iniciales:

• Centro: (0, 0)  
• Vértice principal: (0, 5)  
• Vértice secundario: (3, 0)
• Eje mayor sobre el eje y.

El eje mayor está sobre el eje y, por lo que la ecuación canónica de la elipse será:  

*\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1  *

donde a es el semieje mayor y b el semieje menor.

El vértice principal (0,5) nos indica que la longitud del semieje mayor es a = 5.  

El vértice secundario (3,0) nos indica que la longitud del semieje menor es b = 3.  

Usamos la relación fundamental para las elipses:  

*c^2=a^2-b^2  *

Sustituyendo los valores:  

*c^2=5^2-3^2=25-9=16  *

Por lo tanto:  

*c=\sqrt{16}=4*

Con *a^2=25* y *b^2=9,* la ecuación canónica de la elipse será:  

*\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1  *

Elementos de la elipse:

• Centro: (0, 0)  
• Focos: (0, 4) y (0, -4), ya que c = 4 y están sobre el eje y.  
• Semiejes: a = 5, b = 3  
• Vértices principales: (0, 5) y (0, -5)  
• Vértices secundarios: (3, 0) y (-3, 0)  
• Distancia focal: 2c = 8  
• Lado recto: *L_R=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot9}{5}=\dfrac{18}{5}=3,6*
• Excentricidad: *e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{5}=0,8  *

Solución del problema 1

Datos proporcionados:

• Centro de la hipérbola: C (4, -1)
• Foco: (7, -1)
• Vértice: (6, -1)

Observamos que tanto el centro, el foco y el vértice tienen la misma coordenada y, lo que indica que la hipérbola está orientada horizontalmente. Por lo tanto, la ecuación canónica de la hipérbola es:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

donde (h, k) es el centro de la hipérbola.

El centro es C (4, -1), por lo que *h=4* y *k=-1.*

La distancia entre el centro y el vértice es a. El vértice es (6, -1), entonces:

*a=6-4=2*

La distancia entre el centro y el foco es c. El foco es (7, -1), entonces:

*c=7-4=3*

Para una hipérbola, se cumple que:

*c^2=a^2+b^2*

Sustituyendo los valores conocidos:

*3^2=2^2+b^2 → 9=4+b^2 → b^2=5 → b=\sqrt{5}*

Sustituyendo los valores de h, k, a y b en la ecuación:

*\dfrac{(x-4)^2}{4}-\dfrac{(y+1)^2}{5}=1*

Para una hipérbola horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

*y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)*

Sustituyendo los valores conocidos:

*y+1=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}(x-4)*

La excentricidad e de una hipérbola se calcula como:

*e=\dfrac{c}{a}*

Sustituyendo los valores conocidos:

*e=\dfrac{3}{2}=1,5*

El lado recto L_R de una hipérbola se calcula como:

*L_R=\dfrac{2b^2}{a}*

Sustituyendo los valores conocidos:

*L_R=\dfrac{2 \cdot 5}{2}=5*

Elementos de la hipérbola:

• Centro: (4, -1)
• Focos: (7, -1) y (1, -1)
• Vértices: (6, -1) y (2, -1)
• Semieje transversal: *a=2*
• Semieje conjugado: *b=\sqrt{5}*
• Asíntotas: *y+1=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}(x-4)*
• Excentricidad: *e=1, 5*
• Lado recto: *L_R=5*

Ecuación: *\dfrac{(x-4)^2}{4}-\dfrac{(y+1)^2}{5}=1*

Solución del problema 2

Datos proporcionados:

• Focos: (3, 7) y (7, 7).
• Vértice: (6, 7).

Observamos que tanto los focos como el vértice tienen la misma coordenada y = 7, lo que indica que la hipérbola está orientada horizontalmente. Por lo tanto, la ecuación reducida de la hipérbola es:

*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*

donde (h, k) es el centro de la hipérbola.

El centro de la hipérbola es el punto medio entre los focos. Dados los focos (3, 7) y (7, 7), el centro se calcula como:

*h=\dfrac{3+7}{2}=5, \quad k=\dfrac{7+7}{2}=7*

Por lo tanto, el centro es C (5, 7).

La distancia entre el centro y el vértice es a. El vértice es (6, 7), y el centro es (5, 7), entonces:

*a=6-5=1*

La distancia entre el centro y uno de los focos es c. El foco es (7, 7), y el centro es (5, 7), entonces:

*c=7-5=2*

Para una hipérbola, se cumple que *c^2=a^2+b^2.* Sustituyendo los valores conocidos:

*2^2=1^2+b^2 → 4=1+b^2 → b^2=3 → b=\sqrt{3}*

Sustituyendo los valores de *h=5, k=7, a=1* y *b=\sqrt{3}* en la ecuación, obtenemos:

*\dfrac{(x-5)^2}{1}-\dfrac{(y-7)^2}{3}=1*

Simplificando, la ecuación queda:

*(x-5)^2-\dfrac{(y-7)^2}{3}=1*

Para una hipérbola horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son:

*y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)*

Sustituyendo los valores conocidos:

*y-7=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{1}(x-5) → y-7=\pm \sqrt{3}(x-5)*

La excentricidad de la hipérbola es:

*e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{1}=2*

El lado recto de la hipérbola es:

*L_R=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2 \cdot 3}{1}=6*

Elementos de la hipérbola:

• Centro: (5, 7)
• Focos: (7, 7) y (3, 7)
• Vértices: (6, 7) y (4, 7)
• Semieje transversal: *a=1*
• Semieje conjugado: *b=\sqrt{3}*
• Asíntotas: *y-7=\pm \sqrt{3}(x-5)*
• Excentricidad: *e=2*
• Lado recto: *L_R=6*

Ecuación: *(x-5)^2-\dfrac{(y-7)^2}{3}=1*

Solución 1

Como primer paso, identificamos las coordenadas del vértice V (3, 1) y del foco F (3, -1). Observamos que ambos puntos comparten la misma abscisa, lo que indica que el eje de la parábola es vertical. Calculamos el parámetro *p* como la diferencia entre las ordenadas del foco y el vértice:

*p=-1-1=-2*

Dado que *p* es negativo, la parábola abre hacia abajo. También nos damos cuenta de esto viendo que el foco está por debajo del vértice. Utilizando la forma canónica de una parábola con eje vertical:

*(x-h)^2=4p (y-k)*

donde *(h, k)* es el vértice, sustituimos los valores:

*(x-3)^2=4 (-2)(y-1)*

Simplificando, obtenemos la ecuación:

*(x-3)^2=-8 (y-1)*

Solución 2

En este caso, el vértice está en *V (-4, 3)* y el foco en *F (-1, 3).* Ambos puntos tienen la misma ordenada, por lo que el eje de la parábola es horizontal. Hallamos el parámetro *p* como la diferencia entre las abscisas del foco y el vértice:

*p=-1-(-4)=3*

Como *p* es positivo, la parábola abre hacia la derecha. La forma canónica para una parábola con eje horizontal es:

*(y-k)^2=4p (x-h)*

Sustituyendo los valores conocidos:

*(y-3)^2=4 (3)(x-(-4))*

Simplificando, llegamos a:

*(y-3)^2=12 (x+4)*

Solución 1

Empezamos analizando la ecuación *x^2+y^2-2x-2y=0.* Observamos que contiene términos cuadráticos en *x* e *y* con coeficientes iguales para *x^2* y *y^2,* lo cual sugiere que podría tratarse de una circunferencia. Para confirmarlo, completamos cuadrados en ambas variables.

Agrupamos los términos en *x* e *y:*

*x^2-2x+y^2-2y=0*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1*

Hacemos lo mismo para *y:*

*y^2-2y=(y^2-2y+1)-1=(y-1)^2-1*

Sustituimos en la ecuación original:

*(x-1)^2-1+(y-1)^2-1=0*

Simplificamos sumando las constantes:

*(x-1)^2+(y-1)^2-2=0 → (x-1)^2+(y-1)^2=2*

Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en *(1; 1)* y radio *\sqrt{2}.* Por lo tanto, la cónica representada es una circunferencia real.

Solución 2

Analizamos la ecuación *5x^2-2y^2-10x+8y-13=0.* Observamos que contiene términos cuadráticos en *x* e *y* con coeficientes de signos opuestos (*5* y *-2*), lo cual sugiere que podría tratarse de una hipérbola. Para confirmarlo, completamos cuadrados en ambas variables.

Agrupamos los términos en *x* e *y:*

*5x^2-10x-2y^2+8y=13*

Factorizamos el coeficiente de *x^2* y *y^2:*

*5(x^2-2x)-2(y^2-4y)=13*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1*

Para *y:*

*y^2-4y=(y^2-4y+4)-4=(y-2)^2-4*

Sustituimos en la ecuación:

*5[(x-1)^2-1]-2[(y-2)^2-4]=13*

Simplificamos:

*5(x-1)^2-5-2(y-2)^2+8=13*

*5(x-1)^2-2(y-2)^2+3=13*

*5(x-1)^2-2(y-2)^2=10*

Dividimos toda la ecuación por 10 para obtener la forma estándar:

*\dfrac{(x-1)^2}{2}-\dfrac{(y-2)^2}{5}=1*

Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en *(1; 2),* eje transversal paralelo al eje *x,* donde *a^2=2* y *b^2=5.*

Solución 3

Examinamos la ecuación *y^2+9x+9=0.* Notamos que solo hay un término cuadrático (*y^2*) y un término lineal en *x,* lo cual indica que se trata de una parábola. Reorganizamos la ecuación para expresarla en su forma estándar:

*y^2=-9x-9*

*y^2=-9(x+1)*

Esta es la ecuación de una parábola que abre hacia la izquierda, con vértice en *(-1; 0)* y parámetro *p=-\dfrac{9}{4}.*

Solución 4

Analizamos la ecuación *x^2+y^2+4x+5=0.* Observamos que contiene términos cuadráticos en *x* e *y* con coeficientes iguales (ambos 1), lo cual sugiere que podría tratarse de una circunferencia. Para verificarlo, completamos cuadrados en la variable *x* (ya que no hay término lineal en *y*):

Agrupamos los términos en *x:*

*x^2+4x+y^2=-5*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2+4x=(x^2+4x+4)-4=(x+2)^2-4*

Sustituimos en la ecuación:

*(x+2)^2-4+y^2=-5*

*(x+2)^2+y^2=-1*

Esta ecuación implica que la suma de dos cuadrados es igual a *-1,* lo cual es imposible en los números reales. Por lo tanto, la ecuación no representa ningún lugar geométrico real.

Solución 5

Estudiamos la ecuación *16x^2+9y^2-64x-54y+1=0.* Los coeficientes de *x^2* e *y^2* son positivos y diferentes, lo que sugiere una elipse. Completamos cuadrados para confirmar:

Agrupamos términos en *x* e *y:*

*16x^2-64x+9y^2-54y=-1*

Factorizamos los coeficientes:

*16(x^2-4x)+9(y^2-6y)=-1*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2-4x=(x^2-4x+4)-4=(x-2)^2-4*

Para *y:*

*y^2-6y=(y^2-6y+9)-9=(y-3)^2-9*

Sustituimos en la ecuación:

*16[(x-2)^2-4]+9[(y-3)^2-9]=-1*

*16(x-2)^2-64+9(y-3)^2-81=-1*

*16(x-2)^2+9(y-3)^2-145=-1*

*16(x-2)^2+9(y-3)^2=144*

Dividimos por 144 para obtener la forma estándar:

*\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y-3)^2}{16}=1*

Esta es la ecuación de una elipse con centro en *(2; 3),* semieje mayor *a=4* (paralelo al eje *y*) y semieje menor *b=3.*

Solución 6

Analizamos la ecuación *-7x^2+12y^2+28x+72y-4=0.* Los términos cuadráticos tienen coeficientes de signos opuestos, indicando una hipérbola. Completamos cuadrados:

Reorganizamos la ecuación:

*-7x^2+28x+12y^2+72y=4*

Factorizamos coeficientes:

*-7(x^2-4x)+12(y^2+6y)=4*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2-4x=(x^2-4x+4)-4=(x-2)^2-4*

Para *y:*

*y^2+6y=(y^2+6y+9)-9=(y+3)^2-9*

Sustituimos en la ecuación:

*-7[(x-2)^2-4]+12[(y+3)^2-9]=4*

*-7(x-2)^2+28+12(y+3)^2-108=4*

*-7(x-2)^2+12(y+3)^2-80=4*

*-7(x-2)^2+12(y+3)^2=84*

Dividimos por 84 y reorganizamos:

*\dfrac{(y+3)^2}{7}-\dfrac{(x-2)^2}{12}=1*

Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en *(2;-3),* eje transversal paralelo al eje *y,* donde *a^2=7* y *b^2=12.*

Solución 7

Estudiamos la ecuación *x^2+y^2-6x-8y+40=0.* Los términos cuadráticos tienen coeficientes iguales (1 para *x^2* e *y^2*), lo que indica una posible circunferencia. Completamos cuadrados en ambas variables:

Agrupamos términos en *x* e *y:*

*x^2-6x+y^2-8y=-40*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2-6x=(x^2-6x+9)-9=(x-3)^2-9*

Para *y:*

*y^2-8y=(y^2-8y+16)-16=(y-4)^2-16*

Sustituimos en la ecuación:

*(x-3)^2-9+(y-4)^2-16=-40*

*(x-3)^2+(y-4)^2-25=-40*

*(x-3)^2+(y-4)^2=-15*

La suma de cuadrados es igual a un número negativo (-15), lo cual no tiene solución en los reales. Por lo tanto, esta ecuación no representa ningún lugar geométrico real.

Solución 8

Examinamos la ecuación *x^2+6x-8y+41=0.* Solo hay un término cuadrático (*x^2*) y un término lineal en *y,* lo que sugiere una parábola. Reorganizamos la ecuación:

*x^2+6x=8y-41*

Completamos cuadrados para *x:*

*x^2+6x=(x^2+6x+9)-9=(x+3)^2-9*

Sustituimos:

*(x+3)^2-9=8y-41*

*(x+3)^2=8y-32*

*(x+3)^2=8(y-4)*

Esta es la ecuación de una parábola que abre hacia arriba, con vértice en *(-3; 4)* y parámetro *p=2.*