Hipérbolas con centro en el origen y fuera del origen

En este artículo explicamos las ecuaciones de las hipérbolas con centro en (0, 0) y en (h, k) con gráficas, ejemplos y elementos.

Hipérbola con centro en el origen

Si el centro es el origen, los focos y los vértices de la hipérbola están sobre los ejes cartesianos: sobre el eje x si la hipérbola es horizontal y sobre el eje y si la hipérbola es vertical.

Los elementos de la hipérbola pueden extraerse de la fórmula ordinaria:

Ecuación canónica	Eje transverso	Centro	Focos	Vértices	Extremos del eje conjugado	Asíntotas
*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*	Sobre el eje x	(0, 0)	(±c, 0) *c=\sqrt{a^2+b^2}*	(±a, 0)	(0, ±b)	*y=±\dfrac{b}{a}x*
*\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1*	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, ±c) *c=\sqrt{a^2+b^2}*	(0, ±a)	(±b, 0)	*y=±\dfrac{a}{b}x*

La ecuación general de una hipérbola con centro en (0, 0) es:

Ax² + Cy² + F = 0

donde A y C tienen signos opuestos.

No aparecen términos lineales (Dx y Ey) porque los mismos indicarían un desplazamiento del origen.

Ejemplos

Las siguientes son ecuaciones de hipérbolas con centro en (0, 0):

1. *\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1*
2. *\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{25}=1*
3. *x^2-2y^2=2*
4. *25x^2-4y^2+100=0*

Hipérbola con centro fuera del origen

Si el centro no es el origen, los focos y los vértices de la hipérbola están sobre la recta x = h si la orientación es vertical y sobre la recta y = k si la orientación es horizontal.

De modo similar a lo antes visto, los elementos de la hipérbola pueden extraerse de la fórmula canónica:

Ecuación canónica	Eje transverso	Centro	Focos	Vértices	Extremos del eje conjugado	Asíntotas
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje x	(h, k)	(h ± c, k) *c=\sqrt{a^2+b^2}*	(h ± a, k)	(h, k ± b)	*y-k=±\dfrac{b}{a}~(x-h)*
*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k ± c) *c=\sqrt{a^2+b^2}*	(h, k ± a)	(h ± b, k)	*y-k=±\dfrac{a}{b}~(x-h)*

La ecuación general de una hipérbola con centro fuera del origen es:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

donde A y C tienen signos diferentes.

Nótese que en este caso aparecen los términos lineales Dx y Ey que indican un desplazamiento del origen de coordenadas.

Ejemplos

Las siguientes son ecuaciones de hipérbolas con centro en (h, k):

1. *\dfrac{(x-2)^2}{16}-\dfrac{(y+3)^2}{9}=1* tiene centro en (2, -3).
2. *\dfrac{(y-1)^2}{25}-\dfrac{(x+1)^2}{4}=1* está centrado en (-1, 1).
3. *-7x^2+12y^2+28x+72y-4=0* en forma canónica es *\dfrac{(y+3)^2}{7}-\dfrac{(x-2)^2}{12}=1,* aquí se obtiene que su centro es (2, -3).
4. *3x^2-y^2-4y-40=0* completando cuadrados es *\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{(y+2)^2}{36}=1,* cuyo centro está en (0, -2).

Ejercicios resueltos

A continuación, resolvemos algunos ejercicios sobre cómo construir ecuaciones en base a datos. Los ejercicios de encontrar el centro de una hipérbola están en este artículo:

Cómo hallar el centro de una hipérbola

Ejercicio 1

Encontrar la ecuación de la hipérbola centrada en el origen con vértices en (±3, 0) y focos en (±4, 0).

Solución

Sabemos que la hipérbola está centrada en el origen, con los vértices y los focos alineados sobre el eje x. Esto implica que la ecuación tendrá la forma:

*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*

Los vértices están a una distancia a = 3 del centro. Por otro lado, la distancia entre el centro y los focos es c = 4. La relación entre a, b y c para una hipérbola es:

*c^2=a^2+b^2*

Sustituyendo los valores de a y c:

*4^2=3^2+b^2 → 16=9+b^2 → b^2=7*

Así, la ecuación de la hipérbola es:

*\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1*

Ejercicio 2

Determinar la ecuación ordinaria de una hipérbola con centro en (3, 2), un vértice está en (3, 3) y un foco en (3, 0).

Solución

La hipérbola tiene su centro en (3, 2), y los vértices están alineados verticalmente (el eje focal es paralelo al eje y). La ecuación general será de la forma:

*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*

donde (h, k) = (3, 2).

La distancia entre el centro y el vértice es a = 1, de (3, 2) a (3, 3). La distancia entre el centro y el foco es c = 2, de (3, 2) a (3, 0).

De nuevo usamos la relación:

*c^2=a^2+b^2*

Sustituyendo los valores:

*2^2=1^2+b^2 → 4=1+b^2 → b^2=3*

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es:

*\dfrac{(y-2)^2}{1}-\dfrac{(x-3)^2}{3}=1*

o simplemente:

*\dfrac{(y-2)^2}{1}-\dfrac{(x-3)^2}{3}=1*

Ejercicio 3

Hallar la fórmula canónica de una hipérbola con centro en el origen, vértice en (-5, 0) y asíntota *y=\dfrac{6}{5}x.*

Solución

Dado que la hipérbola tiene el vértice en (-5, 0), su eje transverso es horizontal. Esto nos indica que la ecuación será de la forma:

*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*

La distancia del centro al vértice es a = 5. Para determinar b, usamos la pendiente de las asíntotas, que en una hipérbola horizontal es:

*\text{Pendiente}=\pm \dfrac{b}{a}*

Aquí, la pendiente de la asíntota es *\dfrac{6}{5},* por lo que:

*\dfrac{b}{a}=\dfrac{6}{5} → b=6*

Por lo tanto, *a^2=25* y *b^2=36.* La ecuación de la hipérbola es:

*\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1*

Ejercicio 4

Obtener la ecuación de una hipérbola con centro en (-2, 1), foco en (-2, 5) y vértice en (-2, 4).

Solución

La hipérbola tiene su centro en (-2, 1) y su eje focal es vertical (ya que los vértices y focos están alineados verticalmente). La ecuación será:

*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*

donde (h, k) = (-2, 1).

La distancia entre el centro y el vértice es a = 3, de (-2, 1) a (-2, 4). La distancia entre el centro y el foco es c = 4, de (-2, 1) a (-2, 5).

De nuevo, usamos la relación:

*c^2=a^2+b^2*

Sustituyendo los valores:

*4^2=3^2+b^2 → 16=9+b^2 → b^2=7*

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es:

*\dfrac{(y-1)^2}{9}-\dfrac{(x+2)^2}{7}=1*

Bibliografía consultada

Para crear este artículo y ofrecer información precisa, se han consultado las siguientes fuentes.

• Engler, A. y otros. (2020). Geometría Analítica. Universidad Nacional del Litoral.
• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Leithold. L. (1992). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Oxford University Press.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación. 
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.