Lado recto de una cónica

En este artículo explicamos qué es y cómo calcular el lado recto de una sección cónica con ejemplos paso a paso.

¿Qué es el lado recto?

El lado recto de una cónica es un segmento que une dos puntos de la misma, es perpendicular al eje principal y pasa por uno de sus focos. Este concepto, también denominado latus rectum, anchura focal o cuerda focal, se aplica en el caso de las parábolas, elipses y las hipérbolas.

Elipse

Ejemplos

A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos del cálculo del lado recto de elipses.

Ejemplo 1

Obtener el lado recto de la elipse *\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{64}=1*

Solución: la ecuación está en forma canónica así que podemos extraer los datos que necesitamos:

*a^2=64 → a=\sqrt{64}=8*

*b^2=16*

Para determinar la longitud del lado recto, reemplazamos los datos en la fórmula:

*L_R=\dfrac{2b^2}{a}*

*=\dfrac{2\cdot 16}{8}*

*=\dfrac{32}{8}*

*=4*

Para poder graficar el lado recto primero se debe conocer la ubicación de los focos, puedes aprender cómo hacerlo en este artículo:

Cómo hallar los focos de una elipse

Ejemplo 2

Calcular la longitud del lado recto de la elipse con ecuación *\dfrac{(x-3)^2}{36}+\dfrac{(y+4)^2}{4}=1*

Solución: de la ecuación podemos leer que la elipse no está centrada en el origen como en el caso anterior, sin embargo, este hecho no afecta la longitud del lado recto. Extraemos los datos necesarios:

*a^2=36→a=\sqrt{36}=6*

*b^2=4*

Con estos valores sacamos el lado recto:

*L_R=\dfrac{2b^2}{a}*

*=\dfrac{2\cdot 4}{6}*

*=\dfrac{8}{6}*

*=\dfrac{4}{3}*

*=1,33…*

Ejemplo 3

Hallar el valor del lado recto de la elipse *2x^2+4x+7y^2-28y-40=0*

Solución: en este caso, tenemos la ecuación general y no la canónica, por tanto no podemos extraer directamente los datos necesarios. Si realizamos el proceso de completar los cuadrados, llegaremos a la siguiente ecuación:

*\dfrac{(x+1)^2}{35}+\dfrac{(y-2)^2}{10}=1*

Con la ecuación en esta forma sí podemos sacar los datos necesarios:

*a^2=35 → a=\sqrt{35}*

*b^2=10*

Entonces:

*L_R=\dfrac{2b^2}{a}*

*=\dfrac{2\cdot 10}{\sqrt{35}}*

*=\dfrac{20}{\sqrt{35}}*

*≈3,38*

Demostración

Vamos a demostrar que el lado recto de una elipse tiene longitud *L_R=\dfrac{2b^2}{a}.*

Comenzamos con una elipse ubicada de forma conveniente en el plano cartesiano como se muestra en el gráfico. Consideremos uno de los extremos del lado recto, por ejemplo, P (c, y). 

Por definición de elipse, debe cumplirse que:

*d(F_1, P)+d(F_2,P)=2a*

*\sqrt{(c-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(c-c)^2+y^2}=2a*

*\sqrt{(2c)^2+y^2}+\sqrt{y^2}=2a*

Si consideramos y > 0, entonces:

*\sqrt{(2c)^2+y^2}+y=2a*

*\sqrt{4c^2+y^2}=2a-y*

*(\sqrt{4c^2+y^2})^2=(2a-y)^2*

*4c^2+y^2=4a^2-4ay+y^2*

*4c^2+\cancel{y^2}=4a^2-4ay+\cancel{y^2}*

*4ay=4a^2-4c^2*

*4ay=4(a^2-c^2)*

*y=\dfrac{a^2-c^2}{a}*

Debido a que *a^2-c^2=b^2,* se concluye que:

*y=\dfrac{b^2}{a}*

Como la ordenada del punto P corresponde a la mitad del lado recto, se tiene que la longitud del lado recto es:

*L_R=2\dfrac{b^2}{a}*

Como se quería demostrar.

Hipérbola

Ejemplos

Calcular el lado recto de las siguientes hipérbolas:

• *\dfrac{(x-3)^2}{4}-(y+2)^2=1*
• *\dfrac{(y-1)^2}{9}-\dfrac{(x+5)^2}{16}=1*
• *\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{(y-4)^2}{8}=1*

Soluciones

1) En *\dfrac{(x-3)^2}{4}-(y+2)^2=1* identificamos *a^2=4→a=\sqrt{4}=2* y *b^2=1* porque el término positivo contiene a la variable x.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 1}{2}=\dfrac{2}{2}=1*

2) En *\dfrac{(y-1)^2}{9}-\dfrac{(x+5)^2}{16}=1* identificamos que *a^2=9\rightarrow a=\sqrt{9}=3* y *b^2=16* porque el término positivo contiene a la variable y.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 16}{3}=\dfrac{32}{3}*

3) En *\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{(y-4)^2}{8}=1* identificamos que *a^2=7\rightarrow a=\sqrt{7}* y *b^2=8* porque el término positivo contiene a la variable x.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 8}{\sqrt{7}}=\dfrac{16}{\sqrt{7}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{7}*

Parábola

Ejemplos

Determinar el lado recto de las siguientes parábolas:

1. *3y+4=(x-2)^2-5*
2. *x+5=-2(y-1)^2+3*
3. *y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4*

Soluciones

1) Buscamos una ecuación de la forma *(x-h)^2=±4p(y-k)* para obtener directamente el valor del lado recto L = 4p. Reescribimos la ecuación dada:

*3y+4=(x-2)^2-5*

*(x-2)^2=3y+4+5*

*(x-2)^2=3y+9*

*(x-2)^2=3(y+3)*

De aquí podemos extraemos vemos que 4p=3, por lo que el lado recto es:

*L=3*

2) Buscamos una ecuación de la forma *(y-k)^2=±4p(x-h).* Reescribiendo:  

*x+5=-2(y-1)^2+3*

*-2(y-1)^2=x+5-3*

*-2(y-1)^2=x+2*

*(y-1)^2=-\dfrac{1}{2}(x+2)*

De aquí vemos que *4p=\dfrac{1}{2}* (se toma siempre positivo), por lo que el lado recto es:  

*L=\dfrac{1}{2}*

3) Buscamos una ecuación de la forma *(x-h)^2=±4p(y-k).* Acomodando:

*y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4  *

*(x+3)^2=-2(y-4)*

De aquí vemos que *4p=2,* por lo que el lado recto es:  

*L=2*

Resumen de fórmulas

Sección cónica	Lado recto
Elipse	L = 2b² / a²
Hipérbola	L = 2b² / a²
Parábola	L = 4p

Bibliografía

• Có, P. (2018). Álgebra y Geometría Analítica: Secciones cónicas. Universidad Nacional de Rosario.
• Fuller, G. y Tarwater, D. (1995). Geometría Analítica (7ma edición). Pearson Educación.
• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Mora, W., y Figueroa, G. (2009). Cónicas, cálculo superior. Revista Digital Matemática, Educación e Internet.
• Márquez, A. y otros. (2009). Geometría Analítica. Prentice Hall.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación.
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.