Lado recto de una cónica

En este artículo explicamos qué es y cómo calcular el lado recto de una sección cónica con ejemplos paso a paso.

¿Qué es el lado recto?

El lado recto de una cónica es un segmento que une dos puntos de la misma, es perpendicular al eje principal y pasa por uno de sus focos. Este concepto, también denominado latus rectum, anchura focal o cuerda focal, se aplica en el caso de las parábolas, elipses y las hipérbolas.

Elipse

Ejemplos

Calcular el lado recto de las siguientes elipses:

1. *\dfrac{(x-5)^2}{16}+\dfrac{(y+2)^2}{9}=1*
2. *\dfrac{(x+2)^2}{10}+\dfrac{(y-3)^2}{18}=1*
3. *(x-4)^2+\dfrac{(y+1)^2}{12}=1*

Soluciones: los datos para obtener la longitud del lado recto se pueden obtener directamente de la ecuación canónica.

1) En *\dfrac{(x-5)^2}{16}+\dfrac{(y+2)^2}{9}=1* identificamos que *a^2=16→a=\sqrt{16}=4~* y *b^2=9* porque 16 > 9. 

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 9}{4}=\dfrac{9}{2}*

2) En *\dfrac{(x+2)^2}{10}+\dfrac{(y-3)^2}{18}=1* identificamos que *a^2=18\rightarrow a=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}* y *b^2=10* porque 18>10.

Calculamos el lado recto:  

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 10}{3\sqrt{2}}=\dfrac{20}{3\sqrt{2}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{6}=\dfrac{10\sqrt{2}}{3}*

3) En *\dfrac{(x-4)^2}{1}+\dfrac{(y+1)^2}{12}=1* identificamos que *a^2=12\rightarrow a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}* y *b^2=1* porque 12>1.

Calculamos el lado recto:  

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}*

Más ejemplos de lados rectos de una elipse con gráficos

Hipérbola

Ejemplos

Calcular el lado recto de las siguientes hipérbolas:

• *\dfrac{(x-3)^2}{4}-(y+2)^2=1*
• *\dfrac{(y-1)^2}{9}-\dfrac{(x+5)^2}{16}=1*
• *\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{(y-4)^2}{8}=1*

Soluciones

1) En *\dfrac{(x-3)^2}{4}-(y+2)^2=1* identificamos *a^2=4→a=\sqrt{4}=2* y *b^2=1* porque el término positivo contiene a la variable x.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 1}{2}=\dfrac{2}{2}=1*

2) En *\dfrac{(y-1)^2}{9}-\dfrac{(x+5)^2}{16}=1* identificamos que *a^2=9\rightarrow a=\sqrt{9}=3* y *b^2=16* porque el término positivo contiene a la variable y.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 16}{3}=\dfrac{32}{3}*

3) En *\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{(y-4)^2}{8}=1* identificamos que *a^2=7\rightarrow a=\sqrt{7}* y *b^2=8* porque el término positivo contiene a la variable x.

Calculamos el lado recto:

*L=\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2\cdot 8}{\sqrt{7}}=\dfrac{16}{\sqrt{7}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{7}*

Parábola

Ejemplos

Determinar el lado recto de las siguientes parábolas:

1. *3y+4=(x-2)^2-5*
2. *x+5=-2(y-1)^2+3*
3. *y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4*

Soluciones

1) Buscamos una ecuación de la forma *(x-h)^2=±4p(y-k)* para obtener directamente el valor del lado recto L = 4p. Reescribimos la ecuación dada:

*3y+4=(x-2)^2-5*

*(x-2)^2=3y+4+5*

*(x-2)^2=3y+9*

*(x-2)^2=3(y+3)*

De aquí podemos extraemos vemos que 4p=3, por lo que el lado recto es:

*L=3*

2) Buscamos una ecuación de la forma *(y-k)^2=±4p(x-h).* Reescribiendo:  

*x+5=-2(y-1)^2+3*

*-2(y-1)^2=x+5-3*

*-2(y-1)^2=x+2*

*(y-1)^2=-\dfrac{1}{2}(x+2)*

De aquí vemos que *4p=\dfrac{1}{2}* (se toma siempre positivo), por lo que el lado recto es:  

*L=\dfrac{1}{2}*

3) Buscamos una ecuación de la forma *(x-h)^2=±4p(y-k).* Acomodando:

*y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4  *

*(x+3)^2=-2(y-4)*

De aquí vemos que *4p=2,* por lo que el lado recto es:  

*L=2*

Resumen de fórmulas

Sección cónica	Lado recto
Elipse	L = 2b² / a²
Hipérbola	L = 2b² / a²
Parábola	L = 4p