Vértices de la hipérbola

Los vértices de la hipérbola son los dos puntos de la misma que están más cerca del centro, ambos se encuentran sobre el eje focal y el segmento que los une se llama eje transversal. Los vértices se encuentran separados por una distancia 2a (la longitud del eje transversal). 

A continuación, veremos cómo calcular los vértices de una hipérbola paso a paso. Si aún no conoces el significado de la hipérbola en matemáticas, te invito a revisar antes el artículo principal donde explicamos su concepto, definición, fórmulas y propiedades.

Hipérbola: ¿Qué es? Ecuación, elementos y ejemplos

Cómo hallar los vértices de la hipérbola

Las coordenadas de los vértices se pueden obtener conociendo el centro y la longitud del semieje transversal, datos que pueden obtenerse de la ecuación canónica. 

Ecuación canónica	Eje transversal	Centro	Vértices
*\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1*	Sobre el eje x	(0, 0)	(a, 0) (-a, 0)
*\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1*	Sobre el eje y	(0, 0)	(0, a) (0, -a)
*\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje x	(h, k)	(h + a, k) (h - a, k)
*\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1*	Paralelo al eje y	(h, k)	(h, k + a) (h, k - a)

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Calcular los vértices de la hipérbola *\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1*

Solución: podemos observar que se trata de una hipérbola con eje transversal horizontal, ya que el término con x² es positivo. Además, el centro es el origen de coordenadas (0, 0). 

Recordemos que una hipérbola con estas características, los vértices se encuentran a una distancia “a” del centro hacia la izquierda y la derecha, es decir, en los puntos (±a, 0), donde a es la longitud del semieje transversal.

De la ecuación extraemos *a^2=4,* de donde se obtiene que *a=\sqrt{4}=2.* Por lo tanto, los vértices de la hipérbola están en los puntos (2, 0) y (-2, 0). Estos corresponden a los extremos del eje transversal.

Ejercicio 2

Dada la ecuación de la hipérbola *\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{4}=1* determinar sus vértices.

Solución: empezamos observando que se trata de una hipérbola con eje transversal vertical, ya que el término positivo está asociado a  y² . Además, el centro de la hipérbola es el origen de coordenadas (0, 0).

Para una hipérbola con estas características, los vértices se encuentran a una distancia “a” del centro hacia arriba y hacia abajo, es decir, en los puntos (0, ±a), donde a es la longitud del semieje transversal.

De la ecuación dada, identificamos que *a^2=25,* de donde podemos sacar *a=\sqrt{25}=5.* Por lo tanto, los vértices de la hipérbola están en los puntos (0, 5) y (0, -5).

Ejercicio 3

Hallar las coordenadas de los vértices de la hipérbola *\dfrac{(x-2)^2}{16}-\dfrac{(y+3)^2}{9}=1*

Solución: observamos que se trata de una hipérbola horizontal, ya que el término positivo está asociado a *(x-2)^2.* Además, el centro de la hipérbola no está en el origen, sino en el punto (2, -3).

Para una hipérbola con eje transversal horizontal, los vértices se encuentran a una distancia “a” del centro hacia la izquierda y la derecha, es decir, en los puntos (h ± a, k), donde (h, k) es el centro y a es la longitud del semieje transversal.

De la ecuación dada podemos identificar que *a^2=16,* de donde *a=\sqrt{16}=4.* Por lo tanto, los vértices de la hipérbola están en los puntos (2+4, -3) y (2-4, -3), es decir, en (6, -3) y (-2, -3).

Ejercicio 4

Obtener los vértices de la hipérbola de ecuación *\dfrac{(y-1)^2}{25}-\dfrac{(x+1)^2}{4}=1*

Solución: observamos por la ecuación que se trata de una hipérbola vertical, ya que el término positivo está asociado a *(y-1)^2.* Además, el centro de la hipérbola no está en el origen, sino en el punto (-1, 1).

Para una hipérbola con estas características, los vértices se encuentran a una distancia a del centro hacia arriba y hacia abajo, es decir, en los puntos (h, k ± a), donde (h, k) es el centro y a es la longitud del semieje transversal.

De la ecuación, identificamos que *a^2=25,* de donde *a=\sqrt{25}=5.* Por lo tanto, los vértices de la hipérbola están en los puntos (-1, 1+5) y (-1, 1-5), es decir, en (-1, 6) y (-1, -4).

Ejercicio 5

Encontrar los dos vértices de la hipérbola *3x^2-y^2-4y-40=0*

Solución: la ecuación no está en forma canónica sino general, así que no podemos obtener directamente los datos necesarios. Si completamos los cuadrados, encontramos una forma equivalente:

*\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{(y+2)^2}{36}=1*

Aquí observamos que se trata de una hipérbola horizontal, ya que el término positivo está asociado a x². Además, el centro de la hipérbola se encuentra en el punto (0, -2), indicado por la traslación en y.

Para una hipérbola con eje transversal horizontal, los vértices se encuentran a una distancia “a” del centro hacia la izquierda y la derecha, es decir, en los puntos (h ± a, k), donde (h, k) es el centro y a es la longitud del semieje transversal.

De la ecuación dada, identificamos que *a^2=12,* de donde *a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.* Por lo tanto, los vértices de la hipérbola están en los puntos *(0+2\sqrt{3}, -2)* y *(0-2\sqrt{3}, -2),* es decir, en *(2\sqrt{3}, -2) ~~y~~ (-2\sqrt{3}, -2).* 

Utilizando redondeo, los vértices están aproximadamente en (3,46; -2) y (-3,46; -2).

Bibliografía

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