Distancia focal de la hipérbola

Cómo calcular la distancia focal

Como vimos antes, la semidistancia focal (c) se relaciona con los semiejes transversal (a) y conjugado (b) mediante la siguiente fórmula:

c² = a² + b²

*c=\sqrt{a^2+b^2}*

Esta expresión permite obtener el valor de c a partir de los a y b, los cuales se pueden extraer de la ecuación canónica de la hipérbola. Multiplicando por dos el valor de c, tenemos la distancia focal. 

Si se conocen los focos F₁(x₁, y₁) y F₂(x₂, y₂), podemos usar la fórmula de distancia entre dos puntos para hallar la distancia focal:

*2c=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}*

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Obtener la distancia focal de la hipérbola *\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1*

Solución: en la ecuación observamos que la hipérbola tiene su eje transversal a lo largo del eje x, ya que el término positivo es el que contiene a x². Los valores de a² y b² son los denominadores de los términos cuadráticos: *a^2=4~~ y~~ b^2=9.*

Para calcular la semidistancia focal (c), usamos la fórmula:

*c=\sqrt{a^2+b^2}*

Sustituyendo los valores de *a^2~~ y~~ b^2:*

*c=\sqrt{4+9}*

*c=\sqrt{13}*

Por lo tanto, la distancia focal de la hipérbola es el doble de c: *2c=2\sqrt{13}.*

Ejercicio 2

Dada la ecuación de la hipérbola *\dfrac{(y-1)^2}{25}-\dfrac{(x+1)^2}{4}=1* calcular su distancia focal.

Solución: identificamos que la ecuación está en la forma estándar de una hipérbola con eje transversal vertical. El centro de la hipérbola es (-1, 1), y los valores de a² y b² son:

*a^2=25*

*b^2=4*

Para hallar la semidistancia focal (c), utilizamos la relación:

*c=\sqrt{a^2+b^2}*

Sustituyendo los valores de *a^2~~ y~~ b^2:*

*c=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}*

La distancia focal de la hipérbola es el doble de c, es decir:

*2c=2\sqrt{29}*

Ejercicio 3

Determinar la distancia entre los focos de la hipérbola *\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{(y+2)^2}{36}=1*

Solución: identificamos que la ecuación está en la forma estándar de una hipérbola con eje transversal horizontal, su centro es (0, -2), y los valores de a² y b² son:

*a^2=12*

*b^2=36*

Para sacar la semidistancia focal (c), usamos la fórmula:

*c=\sqrt{a^2+b^2}*

Sustituyendo los valores de *a^2 ~~y~~ b^2:*

*c=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}*

Simplificamos *\sqrt{48}:*

*c=\sqrt{16 \cdot 3}=4\sqrt{3}*

La distancia focal de la hipérbola es el doble de c, es decir:

*2c=2 \cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}*

Ejercicio 4

Encontrar la distancia focal de la hipérbola cuya ecuación es *5x^2-2y^2-10x+8y-13=0*

Solución: la ecuación no está en forma canónica así que no podemos sacar directamente las longitudes de los semiejes. Sin embargo, podemos completar los cuadrados para obtener una forma equivalente:

*\dfrac{(x-1)^2}{2}-\dfrac{(y-2)^2}{5}=1*

En primer lugar, identificamos que la ecuación representa una hipérbola con eje transversal horizontal, con centro en (1, 2), y:

*a^2=2~~y~~b^2=5*

Para calcular la semidistancia focal (c), usamos la fórmula:

*c=\sqrt{a^2+b^2}*

Sustituyendo los valores de *a^2~~ y~~ b^2:*

*c=\sqrt{2+5}=\sqrt{7}*

La distancia focal de la hipérbola es el doble de c, es decir:

*2c=2\sqrt{7}*

Bibliografía

• Engler, A. y otros. (2020). Geometría Analítica. Universidad Nacional del Litoral.
• Fuller, G. y Tarwater, D. (1995). Geometría Analítica (7ma edición). Pearson Educación.
• Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. Limusa.
• Leithold. L. (1992). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Oxford University Press.
• Mora, W., y Figueroa, G. (2009). Cónicas. Revista Digital Matemática, Educación e Internet.
• Márquez, A. y otros. (2009). Geometría Analítica. Prentice Hall.
• Raichman, S. y Totter, E. (2016). Geometría Analítica para Ciencias e Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación.
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.